A. Lý thuyết

1. Tổng của hai vecto

a) Định nghĩa

Với ba điểm bất kì A, B, C, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \), kí hiệu là \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} \).

Phép lấy tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng vecto.

b) Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \).

c) Tính chất

Với ba vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) tùy ý ta có: - Tính chất giao hoán: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a \) - Tính chất kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\) - Tính chất của vecto-không: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow 0  = \overrightarrow a \)

2. Hiệu của hai vecto

a) Hai vecto đối nhau

Vecto có cùng độ dài và ngược hướng với vecto \(\overrightarrow a \) được gọi là vecto đối của vecto \(\overrightarrow a \), kí hiệu là \( - \overrightarrow a \). Hai vecto \(\overrightarrow a \) và \( - \overrightarrow a \) được gọi là hai vecto đối nhau.

Quy ước:ꦆ Vecto đối của vecto \(\overrightarrow 0 \) là vecto \(\overrightarrow 0 \).

Nhận xét:

+) \(\overrightarrow a  + ( - \overrightarrow a ) = ( - \overrightarrow a ) + \overrightarrow a \).+) Hai vecto \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow b \) là hai vecto đối nhau khi và chỉ khi \(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow 0 \).+) Với hai điểm A, B, ta có: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0 \).

Cho hai điểm A, B. Khi đó, hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BA} \) là hai vecto đối nhau, tức là \(\overrightarrow {BA}  =  - \overrightarrow {AB} \).

Chú ý:

+) I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow 0 \). +) G là trọng tâm tam giác ABC khi và chỉ khi \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \).

b) Hiệu của hai vecto

Hiệu của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto \(\overrightarrow b \) là tổng của vecto \(\overrightarrow a \) và vecto đối của vecto \(\overrightarrow b \), kí hiệu là \(\overrightarrow a  - \overrightarrow b \).

Phép lấy hiệu của hai vecto được gọi là phép trừ vecto.

Nhận xét: 🌠Với ba điểm A, B, O bất kì, ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {OB}  - \overrightarrow {OA} \).

 

B. Bài tập

Bài 1: ﷺCho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AM} \).

Giải:

Vì \(\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {BM} \) nên \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  = \overrightarrow {AM} \).

Bài 2: 💧Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right|\).

Giải:

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:\(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BD} \).Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\), \(\left| {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).Do AC = BD nên \(\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right|\).

Bài 3: 🌃Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AD} \).

Giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} \) (tính chất giao hoán)\( = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} \) (tính chất kết hợp)\( = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD} \) (quy tắc ba điểm)\( = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc ba điểm).

Bài 4: ♐Cho bốn điểm bất kì A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0 \).

Giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CB}  = \left( {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD}  - \overrightarrow {CB} } \right) = \overrightarrow {DB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {DD}  = \overrightarrow 0 \).