1. Căn thức bậc hai của một bình phương

Quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương:

Với mỗi biểu thức A, ta có: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\), tức là: \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,khi\,A \ge 0\\ - A\,khi\,A < 0\end{array} \right.\)

Ví dụ:🐽\(\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}}  = \left| {x - 2} \right| = \left\{ \begin{array}{l}x - 2\,khi\,x \ge 2\\2 - x\,khi\,x \le 2\end{array} \right.\)

2. Căn thức bậc hai của một tích

Quy tắc về căn thức bậc hai của một tích:

Với các biểu thức A, B không âm, ta có: \(\sqrt {A.B}  = \sqrt A .\sqrt B \).

Ví dụ:

\(\sqrt {4{a^2}}  = \sqrt 4 .\sqrt {{a^2}}  = 2\left| a \right|\);\(\sqrt {2a} .\sqrt {8a}  = \sqrt {2a.8a}  = \sqrt {16{a^2}}  = \sqrt {16} .\sqrt {{a^2}}  = 4\left| a \right|\).

3. Căn thức bậc hai của một thương

Quy tắc về căn bậc hai của một thương

Với các biểu thức A không âm và biểu thức B dương, ta có: \(\sqrt {\frac{A}{B}}  = \frac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\).

Ví dụ:

\(\sqrt {\frac{{4{a^2}}}{{25}}}  = \frac{{\sqrt {4{a^2}} }}{{\sqrt {25} }} = \frac{{2\left| a \right|}}{5}\);\(\frac{{\sqrt {125a} }}{{\sqrt {5a} }} = \sqrt {\frac{{125a}}{{5a}}}  = \sqrt {25}  = 5\).

4. Trục căn thức ở mẫu

Nhận xét: Phép biến đổi làm mất căn thức bậc hai ở mẫu thức của một biểu thức được gọi là trục căn thức ở mẫu của biểu thức đó.

- Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có \(\frac{A}{{\sqrt B }} = \frac{{A\sqrt B }}{B}\). - Với các biểu thức A, B, C mà \(B \ge 0,{A^2} \ne B\), ta có: \(\frac{C}{{A + \sqrt B }} = \frac{{C\left( {A - \sqrt B } \right)}}{{{A^2} - B}};\frac{C}{{A - \sqrt B }} = \frac{{C\left( {A + \sqrt B } \right)}}{{{A^2} - B}}\). (\(A - \sqrt B \) được gọi là biểu thức liên hợp của \(A + \sqrt B \) và ngược lại). - Với các biểu thức A, B, C mà \(A \ge 0,B \ge 0,A \ne B\), ta có: \(\frac{C}{{\sqrt A  + \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A  - \sqrt B } \right)}}{{A - B}};\frac{C}{{\sqrt A  - \sqrt B }} = \frac{{C\left( {\sqrt A  + \sqrt B } \right)}}{{A - B}}\). (\(\sqrt A  - \sqrt B \) được gọi là biểu thức liên hợp của \(\sqrt A  + \sqrt B \) và ngược lại).

Ví dụ:

\(\frac{2}{{3\sqrt 5 }} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3.5}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{15}}\);\(\frac{a}{{3 - 2\sqrt 2 }} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right).\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{{3^2} - {{\left( {2\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \frac{{a\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}}{{9 - 8}} = \left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)a\).