1, Giới hạn hữu hạn của dãy số

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\left| {{u_n}} \right|\) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể tử một số hạng nào đó trở đi.Kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 0\), hay \({u_n} \to 0\) khi  \(n \to  + \infty \), hay \(\lim {u_n} = 0\).- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực, nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{u_n} - a} \right) = 0\), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\), hay \({u_n} \to a\) khi \(n \to  + \infty \), hay \(\lim {u_n} = a\).

* Chú ý:🌳 Nếu \({u_n} = c\) (c là hằng số) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = c\).

2. Một số giới hạn cơ bản

+ \(\lim \frac{1}{n} = 0\), \(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) \(k \in \mathbb{Z}\).+ \(\lim \frac{c}{n} = 0\), \(\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0\) \(k \in \mathbb{Z}\), c là hằng số.+ Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0\).

+ \(\lim {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e\).

3. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

a)🔯 Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a,\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = b\) thì:

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n} \pm {v_n}) = a \pm b\).\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ({u_n}.{v_n}) = a.b\).\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\).

b)🃏 Nếu \({u_n} \ge 0\) thì với mọi n và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = a\) thì \(a \ge 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \sqrt {{u_n}}  = \sqrt a \).

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn \({u_1},{u_1}q,...,{u_1}{q^{n - 1}},...\)🥂 có công bội q thỏa mãn \(\left| q \right| < 1\) được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:

\(S = \frac{{{u_1}}}{{1 - q}}\) \(\left( {\left| q \right| < 1} \right)\)

4. Giới hạn vô cực

- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( + \infty \)khi \(n \to  + \infty \) nếu \({u_n}\) có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} =  + \infty \), hay \({u_n} \to  + \infty \) khi \(n \to  + \infty \).- Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn \( - \infty \)khi \(n \to  + \infty \) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - {u_n}} \right) =  + \infty \), kí hiệu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} =  - \infty \), hay \({u_n} \to  - \infty \) khi \(n \to  + \infty \).

* Nhận xét:

🐟\(\lim {n^k} =  + \infty ,k \in {\mathbb{Z}^ + }\).

\(\lim {q^n} =  + \infty\) \(q \in \mathbb{R}\), \(q > 1\).Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} =  + \infty \) (hoặc\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} =  - \infty \)) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) = 0\).Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} = a > 0\)và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {v_n} = 0,\forall n\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) =  + \infty \).\(\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } (\frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}) =  + \infty \).Nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {u_n} =  + \infty  \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } ( - {u_n}) =  - \infty \).