Đề bài

Zénon (Zê – nông, 496 – 429 trước Công Nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edée đã phát biểu nghịch lí như sau: Achilles (A – sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là “có đôi chân chạy nhanh như gió” đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách Achilles một khoảng bằng a khác 0. Khi Achilles chạy đến vị trí của rùa xuất phát thì rùa chạy về phía trước một khoảng (như Hình 1). Quá trình này tiếp tục vô hạn. Vì thế, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa. Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thức toán học nào có thể giải thích được nghịch lí Zénon nói trên là không đúng?

Lời giải chi tiết

Ta sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn của hàm số.

Giả sử tốc độ chạy của Achilles là 100 km/h, còn tốc độ chạy của rùa là 1km/h. Lúc xuất phát, rùa ở điểm A₁ cách điểm xuất phát O của Achilles 100 km.

Ta tính thời gian Achilles đuổi kịp rùa, bằng cách tính tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường OA₁, A₁A₂, A₂A₃,... , A_n-1A_nಞ,... Nếu tổng này vô hạn thì Achilles không thể đuổi kịp được rùa, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là thời gian mà Achilles đuổi kịp rùa. 

Để chạy hết quãng đường OA₁ =100 (km), Achilles phải mất thời gian t₁ =\(\frac{{100}}{{100}}\) = 1 (h). 

Với thời gian t₁ này, rùa đã chạy được quãng đường A₁A₂ =1 (km).

Để chạy hết quãng đường A₁A₂ =1 (km), Achilles phải mất thời gian t₂ = \(\frac{1}{{100}}\) (h). 

Với thời gian t₂ rùa đã chạy thêm được quãng đường A₂A₃ = \(\frac{1}{{100}}\) (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường A_n-1A_n = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 2}}}}\) (km), Achilles phải mất thời gian t_n = \(\frac{1}{{{{100}^{n - 1}}}}\) (h). 

Vậy tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường OA₁, A₁A₂, A₂A₃,... , A_n-1A_n,...  là: 

\(T = 1 + \frac{1}{{100}} + \frac{1}{{{{100}^2}}} + \frac{1}{{{{100}^3}}} + ... + \frac{1}{{{{100}^n}}} + ...\left( h \right)\)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với u₁🦹 = 1, công bội q = \(\frac{1}{{100}}\), nên ta có:

\(T = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{100}}{{99}}\) (h) Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau \(\frac{{100}}{{99}}\) giờ.  Vậy nghịch lí Zénon không đúng.