Hoạt động 6

Hình dạng của các đô vật như hộp phân, lồng đèn, hộp quà, lăng kính có đặc điểm gì giống nhau?

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ, tìm ra các đặc điểm chung.

Lời giải chi tiết:

Các hình trên đều có một cặp mặt phẳng đối diện song song với nhau.

Hoạt động 7

Cho hình lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Chứng minh rằng: a) Bốn mặt bên và mặt đáy còn lại của hình lăng trụ là các hình bình hành; b) Các mặt \(AA'C'C\) và \(BB'D'D\)là hình bình hành c) Bốn đoạn thẳng \(A'C,AC',B'D,BD\) có cùng trung điểm.

Phương pháp giải:

‒ Sử dụng định lí 3: Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau. Nếu \(\left( R \right)\) cắt \(\left( P \right)\) thì cắt \(\left( Q \right)\) và hai giao tuyến của chúng song song. ‒ Sử dụng tính chất của hình lăng trụ. ‒ Sử dụng tính chất của hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

a) Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình lăng trụ nên có: ‒ Hai đáy \(ABCD\) và \(A'B'C'D'\) bằng nhau và là hình bình hành. ‒ Các mặt bên \(AA'B'B,AA'D'D,BB'C'C,CC'D'D\) là các hình bình hành. b) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = AC\\\left( {AA'C'C} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = A'C'\end{array} \right\} \Rightarrow AC\parallel A'C'\) Mà \(AA'\) và \(CC'\) là các cạnh bên của hình lăng trụ nên \(AA'\parallel CC'\) Vậy \(AA'C'C\) là hình bình hành. \(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = B{\rm{D}}\\\left( {BB'D'D} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = B'D'\end{array} \right\} \Rightarrow B{\rm{D}}\parallel B'D'\) Mà \(BB'\) và \(DD'\) là các cạnh bên của hình lăng trụ nên \(BB'\parallel DD'\) Vậy \(BB'D'D\) là hình bình hành. c) Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( {A'B'C{\rm{D}}} \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = C{\rm{D}}\\\left( {A'B'C{\rm{D}}} \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = A'B'\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}}\parallel A'B'\left( 1 \right)\) \(ABC{\rm{D}}\) là hình bình hành nên \(AB = CD\) \(AA'B'B\) là hình bình hành nên \(AB = A'B'\) Vậy \(A'B' = CD\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) suy ra \(A'B'C{\rm{D}}\) là hình bình hành \( \Rightarrow A'C,B'D\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Chứng minh tương tự ta có: + \(ABC'D'\) là hình bình hành nên \(AC',B{\rm{D}}'\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường + \(A'BCD'\) là hình bình hành nên \(A'C,B{\rm{D}}'\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Do đó bốn đoạn thẳng \(A'C,AC',B'D,BD\) có cùng trung điểm.

Thực hành 4

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) và một mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt các mặt của hình hộp theo các giao tuyến \(MN,NP,PQ{\rm{,}}QR,RS,SM\) như Hình 18. Chứng minh các cặp cạnh đối của lục giác \(MNPQRS\) song song với nhau.

Phương pháp giải:

Sử dụng định lí 3: Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) song song với nhau. Nếu \(\left( R \right)\) cắt \(\left( P \right)\) thì cắt \(\left( Q \right)\) và hai giao tuyến của chúng song song.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {ABC{\rm{D}}} \right)\parallel \left( {A'B'C'D'} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {ABC{\rm{D}}} \right) = MN\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {A'B'C'D'} \right) = Q{\rm{R}}\end{array} \right\} \Rightarrow MN\parallel Q{\rm{R}}\) \(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'B'B} \right)\parallel \left( {CC'D'D} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {AA'B'B} \right) = NP\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {CC'D'D} \right) = R{\rm{S}}\end{array} \right\} \Rightarrow NP\parallel R{\rm{S}}\) \(\left. \begin{array}{l}\left( {AA'D'D} \right)\parallel \left( {BB'C'C} \right)\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {AA'D'D} \right) = M{\rm{S}}\\\left( \alpha  \right) \cap \left( {BB'C'C} \right) = PQ\end{array} \right\} \Rightarrow M{\rm{S}}\parallel PQ\)

Vận dụng 3

Tìm hình lăng trụ có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của hình lăng trụ, tìm các hình lăng trụ có các cặp mặt phẳng đối diện song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

Hình lăng trụ có thể lấy một mặt bất kì làm mặt đáy là: Hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương.