Khám phá 1

Trong Hình 1, tìm hai phép biến hình để biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’.

Phương pháp giải:

Cho điểm O cố định và một số thực k, \(k \ne 0\). Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {OM'}  = k\overrightarrow {OM} \) được gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k, kí hiệu \({V_{(O,k)}}\). O được gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.

Lời giải chi tiết:

Để tìm phép biến hình biến \(\Delta \)ABC thành \(\Delta \)A’B’C’, ta tìm phép biến hình biến ∆ABC thành \(\Delta \)\({A_1}{B_1}{C_1}\;\) và tìm phép biến hình biến \(\Delta \)\({A_1}{B_1}{C_1}\;\) thành \(\Delta \)A’B’C’.

⦁ Để tìm phép biến hình biến \(\Delta \)ABC thành \(\Delta \)A₁B₁C₁🍒, ta tìm phép biến hình biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm \({A_1},{\rm{ }}{B_1},{\rm{ }}{C_1}.\)

Ta thấy các đường thẳng \(A{A_1},{\rm{ }}B{B_1},{\rm{ }}C{C_1}\;\)  đồng quy tại O.

Xét phép vị tự tâm O, tỉ số k biến các điểm A, B, C theo thứ tự thành các điểm A₁, B₁, C₁.

Ta có \({V_{\left( {O,{\rm{ }}k} \right)}}\left( A \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{A_1}.\) Suy ra \(\overrightarrow {O{A_1}}  = k\overrightarrow {OA} \) và \(O{A_1}\; = {\rm{ }}\left| k \right|.OA.\)

Vì A, A₁ nằm cùng phía đối với O nên k > 0.

Do đó \(k = \frac{{O{A_1}}}{{OA}}\). Tương tự ta cũng có \(k = \frac{{O{B_1}}}{{OB}},k = \frac{{O{C_1}}}{{OC}}\) Do đó \(k = \frac{{O{A_1}}}{{OA}} = \frac{{O{B_1}}}{{OB}} = \frac{{O{C_1}}}{{OC}}\) Vì vậy \({V_{\left( {O;\frac{{O{A_1}}}{{OA}}} \right)}}\)  là phép biến hình biến \(\Delta \)ABC thành \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}.\)

⦁ Để tìm phép biến hình biến \(\Delta {A_1}{B_1}{C_1}.\) thành \(\Delta \)A’B’C’, ta tìm phép biến hình biến các điểm A₁, B₁, C₁ theo thứ tự thành các điểm A’, B’, C’.

Ta thấy d là đường trung trực của đoạn A₁A’.

Suy ra \({D_d}({A_1}){\rm{ }} = {\rm{ }}A'.\) Chứng minh tương tự, ta được \({D_d}({B_1}){\rm{ }} = {\rm{ }}B';{\rm{ }}{D_d}({C_1}){\rm{ }} = {\rm{ }}C'.\)

Vì vậy Đ_d là phép biến hình biến \(\Delta \)A₁B₁C₁ thành \(\Delta \)A’B’C’.

Vậy hai phép biến hình biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ là \({V_{\left( {O;\frac{{O{A_1}}}{{OA}}} \right)}}\)  biến \(\Delta \)ABC thành \(\Delta \)A₁B₁C₁ và \({D_d}\)  biến \(\Delta \)A₁B₁C₁ thành \(\Delta \)A’B’C’.

Thực hành 1

Cho trước ba số thực a, b, k. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép biến hình g biến điểm M(x; y) thành điểm M’(x’; y’) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}x' = kx + a\\y' = ky + b\end{array} \right.\) . Hãy chứng minh g là một phép đồng dạng.

Phương pháp giải:

Phép biến hình f gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M, N có ảnh lần lượt là M’, N’ ta có: \(M'N' = k.MN\)

Lời giải chi tiết:

Xét hai điểm bất kì \(M({x_1};{\rm{ }}{y_1}),{\rm{ }}N({x_2};{\rm{ }}{y_2})\) có ảnh qua g lần lượt là Ta có \(\overrightarrow {MN}  = \left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)\) Và \(\overrightarrow {M'N'}  = \left( {k{x_2} + a - k{x_1} - a;k{y_2} + b - k{y_1} - b} \right)\) \( = \left( {k\left( {{x_2} - {x_1}} \right);k\left( {{y_2} - {y_1}} \right)} \right)\) Do đó \(\overrightarrow {M'N'}  = k\left( {{x_2} - {x_1};{y_2} - {y_1}} \right)\) Vì vậy \(\overrightarrow {M'N'}  = k\overrightarrow {MN} \) Suy ra \(M'N'{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| k \right|.MN.\) Vậy g là phép đồng dạng tỉ số \(\left| k \right|\).

Vận dụng 1

Tìm phép đồng dạng biến hình (A) thành hình (C).

Phương pháp giải:

Phép biến hình f gọi là phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) nếu với hai điểm bất kì M, N có ảnh lần lượt là M’, N’ ta có: \(M'N' = k.MN\)

Lời giải chi tiết:

 

Gọi f là phép đồng dạng cần tìm. ⦁ Để tìm phép biến hình biến hình (A) thành hình (B), ta tìm phép biến hình biến các điểm M, N, P, Q theo thứ tự thành các điểm M’, N’, P’, Q’. Ta thấy các đường thẳng MM’, NN’, PP’, QQ’ đồng quy tại I. Xét phép vị tự tâm I, tỉ số k biến các điểm M, N, P, Q theo thứ tự thành các điểm M’, N’, P’, Q’. Ta có \({V_{(I,{\rm{ }}k)}}\left( M \right){\rm{ }} = {\rm{ }}M'.\) Suy ra  và Vì M, M’ nằm cùng phía đối với I nên \(k{\rm{ }} > {\rm{ }}0.\) Do đó \(k = \frac{{OM'}}{{OM}}.\) Tương tự ta cũng có \(k = \frac{{ON'}}{{ON}},k = \frac{{OP'}}{{OP}},k = \frac{{OQ'}}{{OQ}}\) Do đó \(k = \frac{{OM'}}{{OM}} = \frac{{ON'}}{{ON}} = \frac{{OP'}}{{OP}} = \frac{{OQ'}}{{OQ}}\) Vì vậy  \({V_{\left( {I;\frac{{OM'}}{{OM}}} \right)}}\) là phép biến hình biến hình (A) thành hình (B). ⦁ Ta thấy OP’ = OP” và \(\widehat {P'OP''} = {90^o}\) Suy ra phép quay tâm O, góc quay 90° biến điểm P’ thành điểm P”. Chứng minh tương tự, ta thấy \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\;\) cũng biến các điểm khác trên hình (B) thành các điểm có vị trí tương ứng trên hình (C). Vì vậy \({Q_{\left( {O,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\;\) biến hình (B) thành hình (C). ⦁ Xét hai điểm N, P, ta có: +) \(N' = {\rm{ }}{V_{\left( {I,{\rm{ }}k} \right)}}\left( N \right){\rm{, }}N''{\rm{ }} = {\rm{ }}{Q_{\left( {O,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\left( {N'} \right);\) +) \(P'{\rm{ }} = {\rm{ }}{V_{\left( {I,{\rm{ }}k} \right)}}\left( P \right),P''{\rm{ }} = {\rm{ }}{Q_{\left( {O,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\left( {P'} \right).\) Do đó: +) \(N'P'{\rm{ }} = {\rm{ }}{V_{(I,{\rm{ }}k)}}\left( {NP} \right)\). Suy ra \(N'P'{\rm{ }} = {\rm{ }}k.NP;\) +) \(N''P''{\rm{ }} = {\rm{ }}{Q_{\left( {O,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\left( {N'P'} \right).\)Suy ra \(N''P''{\rm{ }} = {\rm{ }}N'P'.\) Vì vậy \(N''P'' = {\rm{ }}N'P'{\rm{ }} = {\rm{ }}k.NP.\) Vậy f là phép đồng dạng tỉ số k \(\left( {k{\rm{ }} > {\rm{ }}0} \right)\) biến (A) thành (C) thỏa mãn \(\left( B \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{V_{\left( {I,{\rm{ }}k} \right)}}\left( {\left( A \right)} \right)\) và \(\left( C \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{Q_{\left( {O,{\rm{ }}90^\circ } \right)}}\left( {\left( B \right)} \right);\)