Đề bài

Một cửa hàng đã ghi lại số tiền bán xăng cho 35 khách hàng đi xe máy. Mẫu số liệu gốc có dạng \( x_1, x_2, \ldots, x_{35} \) trong đó \(x_i\) là số tiền bán xăng cho khách hàng thứ i. Vì một lí do nào đó, cửa hàng chỉ có mẫu số liệu ghép nhóm dạng sau:

Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này, làm thế nào để ước lượng các số đặc trưng đo xu thế trung tâm (số trung bình, trung vị, tứ phân vị, mốt) cho mẫu số liệu gốc?

Lời giải chi tiết

+) Số trung bình: Trong mỗi khoảng số tiền, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số khách hàng là \( n = 35 \). Số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng là: \(\bar{x} = \frac{3 . 15 + 15 . 45 + 10 . 75 + 7 . 105}{35} = 63\) (nghìn đồng). Do đó, số trung bình cho mẫu số liệu gốc khoảng 63 nghìn đồng. +) Số trung vị, từ phân vị: Cỡ mẫu là \( n = 35 \). Gọi \( x_1, x_2, \ldots, x_{35} \) là số tiền xăng của 35 khách hàng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là \( x_{18} \). Do \( x_{18} \) thuộc nhóm [30; 60] nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, \( p = 2 \), \( a_2 = 30 \), \( m_2 = 15 \), \( m_1 = 3 \), \( a_3 - a_2 = 60 - 30 = 30 \) và ta có: \( M_e = 30 + \frac{\frac{35}{2} - 3}{15} . 30 = 59 \). Tứ phân vị thứ nhất \( Q_1 \) là \( x_9 \). Do \( x_9 \) thuộc nhóm [30; 60] nên nhóm này chứa \( Q_1 \). Do đó, \( p = 2 \), \( a_2 = 30 \), \( m_2 = 15 \), \( m_1 = 3 \), \( a_3 - a_2 = 30 \) và ta có: \( Q_1 = 30 + \frac{\frac{35}{4} - 3}{15} . 30 = 41,5 \). Tứ phân vị thứ ba \( Q_3 \) là \( x_{27} \). Do \( x_{27} \) thuộc nhóm [60; 90] nên nhóm này chứa \( Q_3 \). Do đó, \( p = 3 \), \( a_3 = 60 \), \( m_3 = 10 \), \( m_1 + m_2 = 18 \), \( a_4 - a_3 = 30 \) và ta có: \( Q_3 = 60 + \frac{\frac{3 . 35}{4} - 18}{10} . 30 = 84,75 \). Tứ phân vị thứ hai \( Q_2 = M_e = 59 \). Do đó, trung vị của mẫu số liệu gốc khoảng 59 và các tứ phân vị khoảng 41,5; 59; 84,75. +) Mốt: Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là nhóm [30; 60). Ta có, \( j = 2 \), \( a_2 = 30 \), \( m_2 = 15 \), \( m_1 = 3 \), \( m_3 = 10 \), \( h = 30 \). Do đó \( M_o = 30 + \frac{15 - 3}{(15 - 3) + (15 - 10)} . 30 \approx 51,18 \). Vậy mốt của mẫu số liệu gốc xấp xỉ 51,18.