Đề bài

Trên phần mềm mô phỏng 3D một máy khoan trong không gian \(Oxyz\), cho biết phương trình trục \(a\) của mũi khoan và một đường rãnh \(b\) trên vật cần khoan (hình dưới đây) lần lượt là \(a:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\\z = 3t\end{array} \right.\) và \(b:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 4t'\\y = 2 + 2t'\\z = 6\end{array} \right.\).
a) Chứng minh \(a\), \(b\) vuông góc và cắt nhau.
b) Tìm toạ độ giao điểm của \(a\) và \(b\).

Lời giải chi tiết

a) Trục \(a\) của mũi khoan đi qua điểm \(A\left( {1;2;0} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec a = \left( {0;0;3} \right)\). Đường rãnh \(b\) trên vật cần khoan đi qua điểm \(B\left( {1;2;6} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\vec b = \left( {4;2;0} \right)\). Ta có \(\vec a.\vec b = 0.4 + 0.2 + 3.0 = 0\), suy ra \(a\) và \(b\) vuông góc với nhau. Mặt khác, ta lại có \(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( { - 6;12;0} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;0;6} \right)\). Suy ra \(\left[ {\vec a,\vec b} \right].\overrightarrow {AB}  = \left( { - 6} \right).0 + 12.0 + 0.6 = 0\), tức là \(a\) và \(b\) cắt nhau. b) Xét hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}1 = 1 + 4t'\\2 = 2 + 2t'\\3t = 6\end{array} \right.\). Ở hai phương trình đầu, ta có \(t' = 0\). Ở phương trình cuối cùng, ta có \(t = 2\). Vậy \(t' = 0\) và \(t = 2\) là nghiệm duy nhất của hệ. Suy ra toạ độ giao điểm là \(\left( {1;2;6} \right)\).