Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3;0;0), C(0;1;0), O'(0;0;2). Tính góc giữa: a) Hai đường thẳng BO' và B'C. b) Hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC). c) Đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC).

Lời giải chi tiết

a) Ta có toạ độ các điểm \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {3;0;0} \right)\), \(C\left( {0;1;0} \right)\), \(O'\left( {0;0;2} \right)\). Suy ra \(B'\left( {3;0;2} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {BO'}  = \left( { - 3;0;2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(BO'\) và \(\overrightarrow {B'C}  = \left( { - 3;1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B'C\). Suy ra: \(\cos \left( {BO',B'C} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BO} ',\overrightarrow {B'C} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).\left( { - 3} \right) + 0.1 + 2.\left( { - 2} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {0^2} + {2^2}} .\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{5}{{\sqrt {182} }}\) Từ đó \(\left( {BO',B'C} \right) \approx {68^o}15'\). b) Mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\) có cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 3;1;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BO'}  = \left( { - 3;0;2} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của \(\left( {O'BC} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BO'} } \right] = \left( {2;6;3} \right)\). Mặt phẳng \(\left( {OBC} \right)\) có \(OO' \bot \left( {OBC} \right)\) nên \(\overrightarrow {OO'}  = \left( {0;0;2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( {OBC} \right)\). Suy ra \(\cos \left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OO'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.0 + 6.0 + 3.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {2^2}} }} = \frac{3}{7}\). Vậy \(\left( {\left( {O'BC} \right),\left( {OBC} \right)} \right) \approx {64^o}37'\). c) Ta có \(\overrightarrow {B'C}  = \left( { - 3;1; - 2} \right)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(B'C\). Ta có \(\vec n = \left( {2;6;3} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {O'BC} \right)\). Suy ra \(\sin \left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {B'C} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {\left( { - 3} \right).2 + 1.6 + \left( { - 2} \right).3} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {6^2} + {3^2}} }} = \frac{{3\sqrt {14} }}{{49}}\) Vậy \(\left( {B'C,\left( {O'BC} \right)} \right) \approx {13^o}15'\).