Đề bài

𒁃Cho đường tròn (O; 5 cm) , điểm M nằm ngoài (O) sao cho hai tiếp tuyến MA và MB (A; B là hai tiếp điểm) vuông góc với nhau tại M.

a) Tính độ dài MA và MB.

ꦦb) Qua giao điểm I của đoạn thẳng MO và đường tròn (O), vẽ một tiếp tuyến cắt OA, OB lần lượt tại C, D. Tính độ dài CD.

Lời giải chi tiết

a) Xét tứ giác AOBM có: \(\widehat {MAO} = {90^o}\) (Vì AM là tiếp tuyến của (O)) \(\widehat {OBM} = {90^o}\)(Vì BM là tiếp tuyến của (O)) \(\widehat {AMB} = {90^o}\) (Vì \(AM \bot MB\) tại M). Do đó, tứ giác AOBM là hình chữ nhật. Mà OA = OB (= R của (O)) Nên tứ giác AOBM là hình vuông. Nên ta có MA = MB = OA = 5 cm. b) Vì AM và MB là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại M nên OM là phân giác của \(\widehat {AOB}\). Ta có: \(\widehat {AOM} = \frac{1}{2}.\widehat {AOB} = \frac{1}{2}{.90^o} = {45^o}\) Xét tam giác OCD có OI là đường cao (vì CI là tiếp tuyến của đường tròn tâm O) và OI là đường phân giác. Do đó: tam giác OCD cân tại O. Suy ra OI cũng là đường trung tuyến.

Xét tam giác CIO vuông tại I có CI = OI.tan \(\widehat {COI}\) = 5 .tan 45^o = 5 cm.

Mà I là trung điểm của CD (Vì OI là trung tuyến tam giác COD). Do đó CD = 2CI = 2.5 = 10 cm.