Đề bài

Chứng minh rằng: a) \(\frac{{a\sqrt b  - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = a - b\) với a > 0; b > 0 b) \(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}} \right) = 1 - a\) với a \( \ge \) 0 và a \( \ne \)1

Lời giải chi tiết

a) \(\frac{{a\sqrt b  - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = a - b\) với a > 0; b > 0 Xét vế trái, ta có: \(\begin{array}{l}VT = \frac{{a\sqrt b  - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }}\\ = \frac{{\sqrt {ab} \left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)}}{{\sqrt {ab} }}.\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\\ = \left( {\sqrt a  - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a  + \sqrt b } \right)\\ = a - b = VP\end{array}\) Vậy \(\frac{{a\sqrt b  - b\sqrt a }}{{\sqrt {ab} }}:\frac{1}{{\sqrt a  + \sqrt b }} = a - b\) b) \(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}} \right) = 1 - a\) với a \( \ge \) 0 và a \( \ne \)1 Xét vế trái ta có: \(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}} \right) = \left( {1 + \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  + 1} \right)}}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a  - 1} \right)}}{{\sqrt a  - 1}}} \right)\) \( = \left( {1 + \sqrt a } \right)\left( {1 - \sqrt a } \right) = 1 - {\left( {\sqrt a } \right)^2} = 1 - a\) =  VP. Vậy  \(\left( {1 + \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a  + 1}}} \right)\left( {1 - \frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a  - 1}}} \right) = 1 - a\)