Đề bài

  Cho ba điểm A(3;3;3), B(1;1;2) và C(5;3;1). a) Tìm điểm M trên trục Oy cách đều hai điểm B, C. b) Tìm điểm N trên mặt phẳng (Oxy) cách đều ba điểm A, B, C.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(M(0;{y_M};0)\). M cách đều B và C suy ra MB = MC. Ta có: \(\overrightarrow {MC}  = (5;3 - {y_M};1)\) suy ra \(MC = \sqrt {26 + {{(3 - {y_M})}^2}} \). MB = MC \( \Leftrightarrow \sqrt {5 + {{(1 - {y_M})}^2}}  = \sqrt {26 + {{(3 - {y_M})}^2}}  \Leftrightarrow {y_M} = \frac{{29}}{4}\). Vậy \(M(0;\frac{{29}}{4};0)\). b) Ta có \(N({x_N};{y_N};0)\). \(\overrightarrow {NA}  = (3 - {x_N};3 - {y_n};3) \Rightarrow NA = \sqrt {{{(3 - {x_N})}^2} + {{(3 - {y_n})}^2} + 9} \). \(\overrightarrow {NB}  = (1 - {x_N};1 - {y_n};2) \Rightarrow NB = \sqrt {{{(1 - {x_N})}^2} + {{(1 - {y_n})}^2} + 4} \). \(\overrightarrow {NC}  = (5 - {x_N};3 - {y_n};1) \Rightarrow NC = \sqrt {{{(5 - {x_N})}^2} + {{(3 - {y_n})}^2} + 1} \). N cách đều ba điểm A, B, C nên NA = NB = NC. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\sqrt {{{(3 - {x_N})}^2} + {{(3 - {y_n})}^2} + 9} {\rm{\;}} = \sqrt {{{(1 - {x_N})}^2} + {{(1 - {y_n})}^2} + 4} }\\{\sqrt {{{(3 - {x_N})}^2} + {{(3 - {y_n})}^2} + 9} {\rm{\;}} = \sqrt {{{(5 - {x_N})}^2} + {{(3 - {y_n})}^2} + 1} }\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4{x_N} - 4{y_N} =  - 21}\\{4{x_N} = 8}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_N} = 2}\\{{y_N} = \frac{{13}}{4}}\end{array}} \right.\) Vậy \(N( 2;\frac{{13}}{4};0)\).