Đề bài

  Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm tam giác ADC. Chứng minh rằng \(2\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + 2\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 3(\overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {SJ} )\).

Lời giải chi tiết

Xét S.ABC: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {IC}  = 3\overrightarrow {SI}  + (\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} )\) Vì I là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \), suy ra \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  = 3\overrightarrow {SI} \) Xét S.ACD: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = \overrightarrow {SJ}  + \overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {SJ}  + \overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {SJ}  + \overrightarrow {JD}  = 3\overrightarrow {SJ}  + (\overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD} )\) Vì J là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {JA}  + \overrightarrow {JC}  + \overrightarrow {JD}  = \overrightarrow 0 \), suy ra \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 3\overrightarrow {SJ} \) Ta có: \(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 3\overrightarrow {SI}  + 3\overrightarrow {SJ}  \Leftrightarrow 2\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SB}  + 2\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {SD}  = 3(\overrightarrow {SI}  + \overrightarrow {SJ} )\)