Đề bài

Chiều cao của 500 học sinh một trường trung học cơ sở được thống kê trong Bảng 3.25.

a) Tính khoảng tứ phân vị, trung bình và độ lệch chuẩn chiều cao của 500 học sinh. b) Kết quả tìm được cho biết điều gì về chiều cao của 500 học sinh này?

Lời giải chi tiết

a)

Tứ phân vị: - \(\frac{N}{4} = 125\) rơi vào nhóm [158; 162) \({Q_1} = 158 + \frac{{125 - 75}}{{200}}.4 = 159\) - \(\frac{{3N}}{4} = 375\) rơi vào nhóm [162; 166) \({Q_3} = 162 + \frac{{375 - 275}}{{175}}.4 = 164,29\) Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 164,29 - 159 \approx 5,29\) Chiều cao trung bình: \(\overline x  = \frac{{\sum\limits_{i = 1}^k {\left( {{x_i}{n_i}} \right)} }}{N} = \frac{{152.25 + 156.50 + 160.200 + 164.175 + 168.50}}{{500}} = 161,4\) Độ lệch chuẩn chiều cao của 500 học sinh: - Tính \(\overline {{x^2}} \): \(\overline {x_G^2}  = \frac{{\sum {{f_i}.x_i^2} }}{N} = \frac{{{{152}^2}.25 + {{156}^2}.50 + {{160}^2}.200 + {{164}^2}.175 + {{168}^2}.50}}{{500}} = 26064,8\) - Tính độ lệch chuẩn \(S = \sqrt {\overline {{x^2}}  - {{\left( {\overline x } \right)}^2}}  = \sqrt {26064,8 - 161,{4^2}}  \approx 3,85\)cm b) Nhận xét về chiều cao của 500 học sinh: Trung bình chiều cao là 161.4 cm, cho thấy chiều cao trung bình của nhóm học sinh này rơi vào khoảng giữa của dãy chiều cao đã cho. Độ lệch chuẩn là 3.85 cm, điều này cho thấy có sự phân tán tương đối nhỏ về chiều cao giữa các học sinh. Phần lớn học sinh có chiều cao gần với giá trị trung bình. Như vậy, các giá trị tứ phân vị cho thấy rằng 25% học sinh có chiều cao dưới 159 cm và 75% học sinh có chiều cao dưới 164.29 cm, với sự phân tán khoảng 5.29 cm giữa \({Q_1}\) và \({Q_3}\).