Đề bài

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, BC, AC (Hình 11). a) Chứng minh 2AD = AB + AC – BC. b) Tìm các hệ thức tương tự như ở câu a.

Lời giải chi tiết

a) Ta có D, E, F lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn (I) với các cạnh AB, BC, AC nên tính chất hai tiếp tuyến bằng nhau, ta có: \(AD = AF; CF = CE; BD = BE\) (1) Ta có: \(AB + AC – BC = (AD + BD) + (AF + FC) – (BE + EC) \) \(= AD + BD + AF + FC – BE - EC\) (2) Từ (1) và (2) suy ra  \(AB + AC – BC = AD + BE + AD + EC – BE – EC\) \(= (AD + AD) + (BE - BE) + (CE - CE) = 2AD\) b) Các hệ thức tương tự như ở câu a: \(2AF = AB + AC – BC\); \(2BD = 2BE = AB + BC – AC\);  \(2EC = 2FC = AC + BC – AB\).