Đề bài

Cho ba điểm \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;2;0} \right)\) và \(C\left( {0;0;3} \right)\). Chứng minh rằng nếu điểm \(M\left( {x,y,z} \right)\) thoả mãn \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\) thì \(M\) thuộc một mặt cầu \(\left( S \right)\). Tìm tâm và bán kính của \(\left( S \right)\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(M{A^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2}\), \(M{B^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2}\), \(M{C^2} = {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\) Do \(M{A^2} = M{B^2} + M{C^2}\), nên \({\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {z^2} = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {z^2} + {x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\) \( \Rightarrow  - 2x + 1 = {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2}\) \( \Rightarrow {x^2} + 2x - 1 + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 0\) \( \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 2\). Vậy điểm \(M\) thuộc mặt cầu có tâm \(I\left( { - 1;2;3} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 2 .\)