Đề bài

Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):x - y - 6 = 0\) và \(\left( Q \right)\). Biết rằng điểm \(H\left( {2; - 1; - 2} \right)\) là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) xuống mặt phẳng \(\left( Q \right)\). Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right)\).

Lời giải chi tiết

Do \(H\left( {2; - 1; - 2} \right)\) là hình chiếu của \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên \(OH \bot \left( Q \right)\), suy ra \(\overrightarrow {OH}  = \left( {2; - 1; - 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( Q \right)\). Ta có \(\vec n = \left( {1; - 1;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\). Suy ra \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {OH} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\) Vậy \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = {45^o}\).