Đề bài

Tích của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) =  - {x^3} + 2{x^2} - 1\) trên đoạn \([ - 1;2]\) là A. \( - \frac{{43}}{{27}}\) B. \( - \frac{5}{{27}}\) C. -2 D. \( - \frac{{50}}{{27}}\)

Lời giải chi tiết

Đạo hàm của hàm số: \(f'(x) =  - 3{x^2} + 4x\). Đặt \(f'(x) = 0:\) \( - 3{x^2} + 4x = 0 \Rightarrow \{ _{x = \frac{4}{3}}^{x = 0}\) Tính 𝑓(𝑥) tại các điểm \(x =  - 1,x = 0,x = \frac{4}{3},x = 2\). \(f( - 1) =  - {( - 1)^3} + 2{( - 1)^2} - 1 = 1 + 2 - 1 = 2\). \(f(0) =  - {(0)^3} + 2{(0)^2} - 1 =  - 1\). \(f\left( {\frac{4}{3}} \right) =  - {\left( {\frac{4}{3}} \right)^3} + 2{\left( {\frac{4}{3}} \right)^2} - 1 =  - \frac{{64}}{{27}} + \frac{{32}}{9} - 1 =  - \frac{{64}}{{27}} + \frac{{96}}{{27}} - \frac{{27}}{{27}} = \frac{5}{{27}}\). \(f(2) =  - {(2)^3} + 2{(2)^2} - 1 =  - 8 + 8 - 1 =  - 1\). Vậy giá trị lớn nhất là 2 và giá trị nhỏ nhất là -1. Tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất là -2. Chọn C.