Đề bài

Trên đường thẳng xy, lấy lần lượt ba điểm A, B, C sao cho AB > BC. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính BC. a) Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài B. b) Gọi H là trung điểm AC. Vẽ dây DE của (O) vuông góc với AC tại H. Chứng minh tứ giác ADCE là hình thoi. c) DC cắt đường tròn (O’) tại F. Chứng minh rằng ba điểm F, B, E thẳng hàng. d) Chứng minh rằng HF là tiếp tuyến của đường tròn (O’).

Lời giải chi tiết

a) Ta có OO’ = OB + BO’ (d = R + R’) Do đó đường tròn (O) và đường tròn (O’) tiếp xúc ngoài. b) Xét tam giác DOE có OD = OE = R nên tam giác DOE cân tại O. Vì \(OH \bot DE\) nên OH vừa là đường cao đồng thời là đường trung tuyến của tam giác DOE. Suy ra H là trung điểm của DE. Xét tứ giác ADCE có: AC cắt DE tại H, H là trung điểm của AC, H là trung điểm của DE Do đó tứ giác ADCE là hình bình hành. Mặt khác, AC\( \bot \)DE (gt) Vậy tứ giác ADCE là hình thoi. c) Tam giác EAB nội tiếp đường tròn đường kính AB (gt) Suy ra tam giác EAB vuông tại E hay EB\( \bot \)AE. Ta có AE // CD (tứ giác ADCE là hình thoi) và EB\( \bot \)AE Nên EB\( \bot \)CD. Ta có EB\( \bot \)CD và FB\( \bot \)CD suy ra EB và FB trùng nhau. Vậy ba điểm F, B, E thẳng hàng. d) Tam giác FDE vuông tại F, FH là đường trung tuyến. Suy ra FH = DH nên tam giác HFD cân tại H. Do đó \(\widehat {HFD} = \widehat {HDC}\) Mặt khác, O’F = O’C suy ra tam giác O’FC cân tại O’ Suy ra \(\widehat {O'FC} = \widehat {HCD}\) Mà \(\widehat {HDC} = \widehat {HCD}\) và \(\widehat {HDC} + \widehat {HCD} = {90^o}\) (tam giác HCD vuông tại H) Nên \(\widehat {HFD} + \widehat {O'FC} = {90^o}\) Do đó \(\widehat {HFO'} = {180^o} - (\widehat {HFD} + \widehat {O'FC}) = {180^o} - {90^o} = {90^o}\) Ta có HF\( \bot \)O’F, F thuộc đường tròn (O’). Vậy HF là tiếp tuyến của đường tròn (O’).