Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao. Lần lượt vẽ đường tròn (O) đường kính BH và đườn💛g tròn (O’) đường kính HC.

a) Xét vị t⛄rí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).

b) Đường tròn (O) cắt AB t💝ại E, đường tròn (O’) cắt AC tại F. Chứng minh rằng༒ tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

c) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến đường t🍬ròn (O) và đồng thời là tiếp tuyến đường tròn (O’).

d) Đường trung tuyến AM của tam giác ABC cắt EF tại N. Cho biết AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính diện tíc𝔉h tam giác ANF.

Lời giải chi tiết

a) Ta có OO’ = OH + O’H = R + R’ suy ra hai đường tròn tiếp xúc nhau. b) Xét đường tròn (O) có BH là đường kính

\(\widehat {BEH}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn suy ra \(\widehat {BEH}\)= 90^o hay AB \( \bot \) EH tại E.

Xét đường tròn (O’) có HC là đường kính

\(\widehat {HFC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn suy ra \(\widehat {HFC}\) = 90^o hay AC \( \bot \) HF tại F.

Xét tứ giác AEHF có:  \(\widehat {HEA} = {90^o}\) (chứng minh trên); \(\widehat {EAF} = {90^o}\) (giả thiết); \(\widehat {AFH} = {90^o}\) (chứng minh trên). Suy ra tứ giác AEHF là hình chữ nhật. c) Vì OE = OH = R nên \(\Delta \)OEH cân tại O suy ra \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\). Ta có \(\widehat {BHE} = {90^o} - \widehat B\); \(\widehat {BAH} = {90^o} - \widehat B\) suy ra \(\widehat {BHE} = \)\(\widehat {BAH}\). Mà \(\widehat {OEH} = \widehat {BHE}\) (chứng minh trên); \(\widehat {BAH} = \widehat {AEF}\) (tính chất hình chữ nhật). Suy ra \(\widehat {OEH} = \widehat {AEF}\) hay \(\widehat {OEH} + \widehat {HEF} = \widehat {AEF} + \widehat {HEF}\) suy ra \(\widehat {OEF} = \widehat {AEH} = {90^o}\). Nên EF \( \bot \) OE tại E; E \( \in \) (O) Suy ra EF là đường trung tuyến đường tròn (O) (1). Vì O’F = O’H = R’ nên tam giác O’HF cân tại O’ suy ra \(\widehat {O'HF} = \widehat {O'FH}\) Mà \(\widehat {AHF} = \widehat {EFH}\) (tính chất hình chữ nhật) Nên \(\widehat {O'HF} + \widehat {AFH} = \widehat {O'HF} + \widehat {EFH}\) hay \(\widehat {O'FE} + \widehat {AHC} = {90^o}\). Nên EF \( \bot \) O’F tại F; F \( \in \) (O’) Suy ra EF là đường trung tuyến đường tròn (O’) (2). Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. d) Tam giác ABC vuông tại A có AM là đường trung tuyến, suy ra \({{AM}} = {{BM}} = {{CM}} = \frac{1}{2}{{BC}}\). Do đó \(\Delta {{AMC}}\) cân tại M , suy ra \(\widehat {{{MAC}}} = \widehat {{{MCA}}}\). (1) Tam giác \({{O}}'{{FC}}\) cân tại \({{O}}'\) (vì \({{O}}'{{F}} = {{O}}'{{C}}\)) suy ra \(\widehat {{{O}}'{{FC}}} = \widehat {{{O}}'{{CF}}}\). Suy ra \(\widehat {{{MAC}}} = \widehat {{{O}}'{{FC}}}\). Mà \(\widehat {{{MAC}}},\widehat {O'FC}\) là hai góc đồng vị nên \({{AM}}//{{O}}'{{F}}\). Mặt khác \({{O}}'{{F}} \bot {{EF}}\), suy ra \({{AM}} \bot {{EF}}\) tại N . Xét tam giác ABC vuông tại A có \({{BC}} = \sqrt {{{A}}{{{B}}^2} + {{A}}{{{C}}^2}}  = \sqrt {{6^2} + {8^2}}  = 10(\;{{cm}})\) Diện tích tam giác ABC là \({{{S}}_{\Delta {{ABC}}}} = \frac{1}{2}{{AH}} \cdot {{BC}} = \frac{1}{2}{{AB}} \cdot {{AC}}\), suy ra \({{AH}} = \frac{{{{AB}} \cdot {{AC}}}}{{{{BC}}}} = \frac{{6 \cdot 8}}{{10}} = 4,8(\;{{cm}})\) Suy ra \({{EF}} = {{AH}} = 4,8\;{{cm}}\) (vì AEHF là hình chữ nhật). Xét tam giác AHF và tam giác ACH có: \(\widehat {AFH} = \widehat {AHC}\left( { = 90^\circ } \right)\) \(\widehat A\) chung Suy ra $\Delta  \mathrm{AHF} \backsim \Delta  \mathrm{ACH}(\mathrm{g} . \mathrm{g})$ nên \(\frac{{{{AH}}}}{{{{AC}}}} = \frac{{{{AF}}}}{{{{AH}}}}\). Suy ra \({{AF}} = \frac{{{{A}}{{{H}}^2}}}{{{{AC}}}} = \frac{{4,{8^2}}}{8} = 2,88(\;{{cm}})\). Xét tam giác ANF và tam giác CAB có: \(\widehat {ANF} = \widehat {CAB}\left( { = 90^\circ } \right)\) \(\widehat {NAF} = \widehat {ACB}\) (theo (1) Suy ra $\Delta \text{ANF}\backsim \Delta CAB(\text{g}.\text{g})$ Suy ra \(\frac{{{S_{\Delta {{ANF}}}}}}{{{S_{\Delta CAB}}}} = {\left( {\frac{{AF}}{{BC}}} \right)^2}\) Diện tích tam giác AFN là: \({{{S}}_{\Delta AFN}} = {\left( {\frac{{AF}}{{BC}}} \right)^2}.{S_{\Delta CAB}} = {\left( {\frac{{2.88}}{{10}}} \right)^2}.\frac{1}{2}.AB.AC = {\left( {\frac{{2.88}}{{10}}} \right)^2}.\frac{1}{2}.6.8 \approx 2\left( {\;{{c}}{{{m}}^2}} \right)\).