Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Từ M kẻ ME vuông góc với AB (E ∈ AB), kẻ MF vuông góc với AC (F ∈ AC). Gọi I là giao điểm của AM và EF. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh: a) AM vuông góc với EF; b) Trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC; c) Trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên cùng một đường thẳng.

Lời giải chi tiết

 

a) Vì tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)Xét ∆BME và ∆CMF có:\(\widehat {BEM} = \widehat {CFM}\left( { = 90^\circ } \right)\)BM = CM (vì M là trung điểm của BC),\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (chứng minh trên)Do đó ∆BME = ∆CMF (cạnh huyền – góc nhọn)Suy ra ME = MF, BE = CF (các cặp cạnh tương ứng).Ta có ME = MF nên M nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF (1)Lại có AB = AE + EB, AC = AF + FCMà AB = AC, BE = CF (chứng minh trên)Suy ra AE = AF nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EF (2)Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF.Do đó AM vuông góc với EF.Vậy AM vuông góc với EF.b) Xét ∆ABM và ∆ACM có:AB = AC, BM = CM, AM là cạnh chungDo đó ∆ABM = ∆ACM (c.c.c)Suy ra \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC}\) (hai góc tương ứng).Mà \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = 180^\circ \) (hai góc kề bù)Do đó \(\widehat {AMB} = \widehat {AMC} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \)Suy ra AM ⊥ BC hay BM ⊥ AD và CM ⊥ AD .Mà BM và CM là các đường cao tương ứng của các tam giác ABD, ACD. Suy ra trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC.Vậy trực tâm của các tam giác ABD và ACD nằm trên đường thẳng BC.c) Ta có AM là đường trung trực của đoạn thẳng EF nên AM ⊥ EF.Do đó trực tâm của tam giác AEF và tam giác MEF nằm trên đường thăng AM hay chính là đường thẳng AD.Xét tam giác ABC có AM là đường cao nên trực tâm tam giác ABC nằm trên đường thẳng AM hay chính là đường thẳng AD.Xét tam giác DBC có DM là đường cao nên trực tâm tam giác DBC nằm trên đường thẳng DM hay chính là đường thẳng AD.Suy ra trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên đường thẳng AD.Vậy trực tâm của các tam giác AEF, MEF, DBC và ABC nằm trên cùng một đường thẳng, đó là đường thẳng AD.