Đề bài

𝓀Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Vẽ BE vuông góc với CD tại E. Gọi I là giao điểm của AC và BE; K là hình chiếu của I trên BC.

a) Chứng minh ba điểm D, I, K thẳng hàng.

𓆏b) Tìm điều kiện của tam giác ABC để I là trọng tâm của tam giác BCD.

Lời giải chi tiết

 

a) Xét tam giác BCD có I là giao điểm của hai đường cao CA và BE nên I là trực tâm của tam giác DBC.Suy ra DI ⊥ BC.Mặt khác, IK ⊥ BC (giả thiết).Do đó đường cao DI đi qua K nên ba điểm D, I, K thẳng hàng.Vậy ba điểm D, I, K thẳng hàng.b) Xét ∆CDA và ∆CBA có:\(\widehat {CAD} = \widehat {CAB}\left( { = {{90}^o}} \right)\),CA là cạnh chung,AD = AB (giả thiết)Do đó ∆CDA = ∆CBA (hai cạnh góc vuông)Suy ra CD = CB (hai cạnh tương ứng) (1)Tam giác BCD có I là trọng tâm của tam giác nên BE là đường trung tuyến của tam giác.Do đó CE = DE.Chứng minh tương tự như trên ta cũng có ∆BDE = ∆BCE (hai cạnh góc vuông)Suy ra BD = BC (hai cạnh tương ứng) (2)Từ (1) và (2) ta có BC = CD = DB nên tam giác BCD là tam giác đều.Do đó \(\widehat {DBC} = 60^\circ \) hay \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)Vậy điều kiện của tam giác ABC để I cũng là trọng tâm của tam giác BCD là tam giác ABC vuông tại A có \(\widehat {ABC} = 60^\circ \)