Đề bài

Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB. a) Hãy giải thích tại sao DP = DR. b) Hãy giải thích tại sao DP = DQ. c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A? ( Đây là một cách chứng minh định lí 2)

Lời giải chi tiết

a) Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \dfrac{1}{2}.\widehat {ABC}\) Vì CD là tia phân giác của góc ACB nên \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}} = \dfrac{1}{2}.\widehat {ACB}\) Xét \(\Delta BDP\) vuông tại P và \(\Delta BDR\) vuông tại R, ta có: \(\widehat {{B_2}} = \widehat {{B_1}}\) BD chung nên \(\Delta BDP = \Delta BDR\) (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra DP = DR (2 cạnh tương ứng) (1) b) Xét \(\Delta CDP\) vuông tại P và \(\Delta CDQ\) vuông tại Q, ta có:  \(\widehat {{C_2}} = \widehat {{C_1}}\) CD chung nên \(\Delta CDP = \Delta CDQ\) (cạnh huyền – góc nhọn) suy ra DP = DQ ( 2 cạnh tương ứng) (2) c) Từ (1) và (2), ta được: DR = DQ (cùng bằng DP). D nằm trên tia phân giác của góc A do D cách đều AB và AC.