Đề bài

Cho tam giác ABC và hai điểm M, N lần lượt nằm trên AB, AC sao cho MN song song với BC. Gọi ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) $\Delta MEN\backsim \Delta BFC$ b) \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{MN}}{{BC}}\)

Lời giải chi tiết

a) Vì MN//BC (gt) nên+ \(\widehat {ENM} = \widehat C\) (hai góc đồng vị)+ \(\widehat {AMN} = \widehat {ABC}\) (hai góc đồng vị)Mà ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC nên \(\widehat {EMN} = \frac{1}{2}\widehat {AMN} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \widehat {FBC}\)Tam giác MEN và tam giác BFC có:\(\widehat {ENM} = \widehat C\) (cmt), \(\widehat {EMN} = \widehat {FBC}\) (cmt)Do đó, $\Delta MEN\backsim \Delta BFC\left( g-g \right)$b) Tam giác ABC có: MN//BC nên theo hệ quả định lý Thalès ta có: \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) (1)Vì ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC nên \(\widehat {EMA} = \frac{1}{2}\widehat {AMN} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = \widehat {FBA}\)Do đó, \(\widehat {EMA} = \widehat {FBA}\), mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ME//BF.Tam giác ABF có: ME//BF nên theo hệ quả định lý Thalès ta có: \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AB}}\) (2)Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{MN}}{{BC}}\)