Đề bài

a)Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác BE và CF của tam giác ABC. Đường thẳng qua I song song với BC cắt AB tại J và cắt AC tại K. Chứng minh: JK = BJ + CK. b)Đường thẳng qua B vuông góc với BI cắt đường thẳng qua C vuông góc với CI tại điểm I’. Qua I’ kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB tại J’, cắt AC tại K’. Chứng minh J’K’ = BJ’ + CK’.

Lời giải chi tiết

a)

Ta có: BI là phân giác góc FBC\( \Rightarrow \widehat {JBI} = \widehat {IBC}\)Lại có: JK // BC\( \Rightarrow \widehat {JIB} = \widehat {IBC}\)(2 góc so le trong)\( \Rightarrow \widehat {JBI} = \widehat {JIB}\)\(\)\( \Rightarrow \Delta JIB\)cân tại J\( \Rightarrow JI = JB\)Chứng minh tương tự: KI = KCTa có:\(JK = JI + IK = JB + CK\)          b)Ta có: \(BI' \bot BI\)\( \Rightarrow BI'\) là tia phân giác của góc tạo bởi BC và tia đối của tia BA (phân giác góc ngoài tại B)\( \Rightarrow \widehat {J'BI'} = \widehat {I'BC}\) (Tính chất tia phân giác)Lại có: BC // J’K’\( \Rightarrow \widehat {CBI'} = \widehat {BI'J'}\) (2 góc so le trong)\( \Rightarrow \widehat {J'BI'} = \widehat {BI'J'}\)\( \Rightarrow \Delta J'BI'\) cân tại J’\( \Rightarrow J'B = J'I'\)Chứng minh tương tự: K’C = K’I’Ta có:J’K’ = J’I’ + I’K’ = BJ’ + CK’ (đpcm)