Đề bài

Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy không là hình thang. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Trên \(SO\) lấy điểm \(I\) sao cho \(SI = 2IO\). a) Xác định các giao điểm \(M\), \(N\) lần lượt của \(SA\), \(SD\) với mặt phẳng \(\left( {IBC} \right)\). b*) Chứng minh rằng các đường thẳng \(AD\), \(BC\) và \(MN\) đồng quy.

Lời giải chi tiết

a)

Giao điểm \(M\) của \(SA\) và \(\left( {IBC} \right)\):

Ta nhận xét rằng \(I \in SO \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow CI \subset \left( {SAC} \right)\).Trên mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(\left\{ M \right\} = CI \cap SA\).Do \(IC \subset \left( {IBC} \right)\), nên \(\left\{ M \right\} = \left( {IBC} \right) \cap SA\).Vậy \(M\) là giao điểm của \(\left( {IBC} \right)\) và \(SA\).

Giao điểm \(N\) của \(SD\) và \(\left( {IBC} \right)\):

Ta nhận xét rằng \(I \in SO \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow BI \subset \left( {SBD} \right)\).Trên mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(\left\{ N \right\} = BI \cap SD\).Do \(IB \subset \left( {IBC} \right)\), nên \(\left\{ N \right\} = \left( {IBC} \right) \cap SD\).Vậy \(N\) là giao điểm của \(\left( {IBC} \right)\) và \(SD\).b) Trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(BC\).Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}M \in SA \subset \left( {SAD} \right)\\M \in \left( {IBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {IBC} \right)\). Mặt khác, \(\left\{ \begin{array}{l}N \in SD \subset \left( {SAD} \right)\\N \in \left( {IBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {IBC} \right)\).Vậy giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {IBC} \right)\) là đường thẳng \(MN\).Do \(AD \in \left( {SAD} \right)\), \(BC \in \left( {IBC} \right)\), \(\left\{ K \right\} = AD \cap BC\), ta suy ra \(K\) nằm trên giao tuyến của \(\left( {SAD} \right)\) và \(\left( {IBC} \right)\), tức là \(K \in MN\).Vậy ba đường thẳng \(AD\), \(BC\), \(MN\) cắt nhau tại \(K\).