Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Trên các cạnh \(AC,{\rm{ }}CD\) lần lượt lấy các điểm \(E,{\rm{ }}F\) sao cho \(CE = 3EA,{\rm{ }}DF = 2FC\). a)    Xác định giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {BEF} \right)\) với các mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(\left( {ACD} \right)\), \(\left( {BCD} \right)\). b)    Xác định giao điểm \(K\) của đường thẳng \(AD\) với mặt phẳng \(\left( {BEF} \right)\). c)     Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\).

Lời giải chi tiết

a)

Giao tuyến của \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\):

Ta có \(B \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ABC} \right)\).Mặt khác, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}E \in \left( {BEF} \right)\\E \in AC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ABC} \right)\).Như vậy giao tuyển của \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là đường thẳng \(BE\).

 

Giao tuyến của \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\):

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {BEF} \right)\\F \in CD \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ACD} \right)\).Mặt khác, \(\left\{ \begin{array}{l}E \in \left( {BEF} \right)\\E \in AC \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ACD} \right)\).Như vậy giao tuyển của \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {ACD} \right)\) là đường thẳng \(EF\).

Giao tuyến của \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\):

Ta có \(B \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {BCD} \right)\)Mặt khác, \(\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {BEF} \right)\\F \in CD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {BCD} \right)\)Như vậy giao tuyển của \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {BCD} \right)\) là đường thẳng \(BF\).b) Trên mặt phẳng \(\left( {ACD} \right)\), lấy \(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(EF\).Ta có \(\left\{ K \right\} = AD \cap EF\),  mà \(EF \subset \left( {BEF} \right)\).Suy ra \(\left\{ K \right\} = AD \cap \left( {BEF} \right)\), tức \(K\) là giao điểm của \(AD\) và \(\left( {BEF} \right)\).c) Ta có \(B \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ABD} \right)\).Theo câu b, ta có \(K \in AD \cap \left( {BEF} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in AD\\K \in \left( {BEF} \right)\end{array} \right.\)Mà \(AD \in \left( {ABD} \right)\) nên ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}K \in \left( {ABD} \right)\\K \in \left( {BEF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K \in \left( {ABD} \right) \cap \left( {BEF} \right)\).Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {BEF} \right)\) và \(\left( {ABD} \right)\) là đường thẳng \(BK\).