Đề bài

Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh: a) \({n^5} - n\) chia hết cho 5 \(\forall n \in \mathbb{N}*\) b) \({n^7} - n\) chia hết cho 7 \(\forall n \in \mathbb{N}*\)

Lời giải chi tiết

a) \({n^5} - n\) chia hết cho 5 \(\forall n \in \mathbb{N}*\)Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = 1\)+ \(VT = {1^5} - 1 = 0 \vdots 5\)=> Mệnh đề đúng với \(n = 1\)Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge 1\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.+ Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), tức là: \({k^5} - k \vdots 5\)+ Chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là \({\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right) \vdots 5\)Thật vậy, xét: \(\begin{array}{l}{\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right) = \left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^4} - 1} \right] = \left( {k + 1} \right)\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^2} + 1} \right)\left( {k + 1 - 1} \right)\left( {k + 1 + 1} \right)\\ = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 4 + 5} \right) = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {\left( {k + 1 - 2} \right)\left( {k + 1 + 2} \right) + 5} \right]\\ = \left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) + 5k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\end{array}\) + Ta thấy \(\left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\)là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp à \(\left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)\) chia hết cho 5+  \(5k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\) chia hết cho 5\( \Rightarrow {\left( {k + 1} \right)^5} - \left( {k + 1} \right) \vdots 5\) Suy ra điều phải chứng minhb) \({n^7} - n\) chia hết cho 7 \(\forall n \in \mathbb{N}*\)Bước 1: Kiểm tra mệnh đề là đúng với \(n = 1\)+ \(VT = {1^7} - 1 = 0 \vdots 7\)=> Mệnh đề đúng với \(n = 1\)Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số tự nhiên \(n = k \ge 1\) và chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1.\) Kết luận.+ Giả sử mệnh đề đúng với \(n = k \ge 1\), tức là: \({k^7} - k \vdots 7\)+ Chứng minh mệnh đề đúng với \(n = k + 1\), tức là \({\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7\) Thật vậy, xét:\(\begin{array}{l}{\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) = {k^7} + C_7^1{k^6} + C_7^2{k^5} + C_7^3{k^4} + C_7^4{k^3} + C_7^5{k^2} + C_7^6k - k\\ = \left( {{k^7} - k} \right) + \left( {C_7^1{k^6} + C_7^2{k^5} + C_7^3{k^4} + C_7^4{k^3} + C_7^5{k^2} + C_7^6k} \right)\end{array}\)+ Ta có \({k^7} - k \vdots 7\)+  \(\left( {C_7^1{k^6} + C_7^2{k^5} + C_7^3{k^4} + C_7^4{k^3} + C_7^5{k^2} + C_7^6k} \right)\) chia hết cho 7 vì \(C_7^k\) với k chạy từ 1 đến 6 là bội của 7 nên luôn chia hết cho 7\( \Rightarrow {\left( {k + 1} \right)^7} - \left( {k + 1} \right) \vdots 7\) Suy ra điều phải chứng minh