Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC. a) Chứng minh \(AH \bot BC\). b) Trên tia đối của tia BC lấy điểm M; trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho \(BM = CN\). Chứng minh rằng \(\Delta ABM = \Delta ACN\). c) Gọi I là điểm trên AM, K là điểm trên AN sao cho \(BI \bot AM;CK \bot AN\). Chứng minh rằng tam giác AIK cân tại A, từ đó suy ra IK//MN.

Lời giải chi tiết

a) \(\Delta \)ABC cân tại A (giả thiết) Mà AH là đường trung tuyến (H là trung điểm của BC) Nên AH là đường cao của \(\Delta ABC\) (tính chất tam giác cân). Vậy \(AH \bot BC\). b) Ta có: \(\widehat {ABM} + \widehat {ABC} = {180^o}\) (hai góc kề bù), \(\widehat {ACN} + \widehat {ACB} = {180^o}\) (hai góc kề bù). Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) nên \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) \(\Delta ABM\) và \(\Delta ACN\) có: \(AB = AC\) (\(\Delta ABC\) cân tại đỉnh A). \(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (chứng minh trên) \(BM = CN\) (giả thiết) Nên \(\Delta ABM = \Delta ACN\) (c.g.c). c) Ta có \(\Delta ABM = \Delta ACN\) (chứng minh trên) suy ra \(\widehat {BMI} = \widehat {CNK}\) (hai góc tương ứng) và \(AM = AN\) (hai cạnh tương ứng). \(\Delta BIM\left( {\widehat {BIM} = {{90}^o}} \right)\) và \(\Delta CKN\left( {\widehat {CKN} = {{90}^o}} \right)\) có: \(BM = CN\) (giả thiết) \(\widehat {BMI} = \widehat {CNK}\) (chứng minh trên) Nên \(\Delta BIM = \Delta CKN\) (cạnh huyền – góc nhọn). Suy ra \(MI = NK\) (hai cạnh tương ứng). Mà \(AM = AN\) (chứng minh trên) nên \(AI = AK\), suy ra \(\Delta AIK\) cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân). Ta có \(AM = AN\)(chứng minh trên) nên \(\Delta AMN\) cân tại A (dấu hiệu nhận biết tam giác cân). Suy ra \(\widehat {AMN} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {MAN}}}{2}\). Ta có \(\Delta AIK\) cân tại A (chứng minh trên) nên \(\widehat {AIK} = \frac{{{{180}^o} - \widehat {IAK}}}{2}\). Từ đó \(\widehat {AIK} = \widehat {AMN}\left( { = \frac{{{{180}^o} - \widehat {IAK}}}{2}} \right)\) Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên IK//MN (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song).