Đề bài

Cho tam giác ABC. Gọi D là trung điểm của AB. Trên tia đối của tia DC, lấy điểm M sao cho \(DM = DC\). a) Chứng minh rằng \(\Delta ADM = \Delta BDC\). Từ đó suy ra \(AM = BC\) và AM//BC. b) Gọi E là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia EB lấy điểm N sao cho \(EN = EB\). Chứng minh rằng AN//BC. c) Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng và A là trung điểm của đoạn MN.

Lời giải chi tiết

a) \(\Delta ADM\) và \(\Delta BDC\) có: \(AD = DB\) (do D là trung điểm của AB). \(\widehat {ADM} = \widehat {BDC}\) (hai góc đối đỉnh) \(DM = DC\) (giả thiết) Nên \(\Delta ADM = \Delta BDC\) (c.g.c). Suy ra \(AM = BC\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat {MAD} = \widehat {CBD}\) (hai góc tương ứng). Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AM//BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song). b) \(\Delta AEN\) và \(\Delta CEB\) có: \(AE = CE\) (do E là trung điểm của AC). \(\widehat {AEN} = \widehat {CEB}\) (hai góc đối đỉnh) \(EN = EB\) (theo giả thiết) Nên \(\Delta AEN = \Delta CEB\) (c.g.c). Suy ra \(\widehat {EAN} = \widehat {ECB}\) (hai góc tương ứng). Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AN//BC (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song). c) Ta có AM//BC (chứng minh trên), AN//BC (chứng minh trên) nên AM và AN trùng nhau (theo tiên đề Euclid). Từ đó suy ra ba điểm M, A, N thẳng hàng. Ta lại có \(AM = BC\) (chứng minh trên) và \(AN = BC\) (chứng minh trên), do đó \(AM = AN\). Từ đó suy ra A là trung điểm của MN.