Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau: a) \(y = \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\);      b) \(y =  - \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2\); c) \(y = 2{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 1\);  d) \(y =  - \frac{1}{4}\left( {{x^3} - 6{{\rm{x}}^2} + 12{\rm{x}}} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) \(y = \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = {x^3} - 3{\rm{x}} - 2\) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\). 2) Sự biến thiên: • Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \). • Bảng biến thiên: \(y' = 3{{\rm{x}}^2} - 3\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  - 1\) hoặc \({\rm{x}} = 1\).

Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\); đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1,{y_{CT}} =  - 4\); hàm số đạt cực đại tại \(x = -1,{y_{CĐ}} =  0\). 3) Đồ thị • Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - 2} \right)\). • Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 2; - 4} \right),\left( { - 1;0} \right),\left( {0; - 2} \right),\left( {1; - 4} \right),\left( {2;0} \right)\). Vậy đồ thị hàm số \(y = \left( {x - 2} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\) như sau:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(I\left( {0; - 2} \right)\). b) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\). 2) Sự biến thiên: • Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \). • Bảng biến thiên: \(y' =  - {{\rm{x}}^2} - 2{\rm{x}}\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\) hoặc \({\rm{x}} = 0\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\); đồng biến trên khoảng \(\left( { - 2;0} \right)\). Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  - 2,{y_{CT}} = \frac{2}{3}\); hàm số đạt cực đại tại \(x = 0,{y_{CĐ}} =  2\). 3) Đồ thị • Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0;2} \right)\). • Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 3;2} \right),\left( { - 2;\frac{2}{3}} \right),\left( { - 1;\frac{4}{3}} \right),\left( {0;2} \right),\left( {1;\frac{2}{3}} \right)\). Vậy đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2\) như sau:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(I\left( { - 1;\frac{4}{3}} \right)\). c) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\). 2) Sự biến thiên: • Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \). • Bảng biến thiên: \(y' = 6{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 2 = 6{\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\).

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Hàm số không có cực trị. 3) Đồ thị • Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(\left( {0; - 1} \right)\). • Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( { - 1; - 8} \right),\left( {0; - 1} \right),\left( {1;0} \right),\left( {2;7} \right)\). Vậy đồ thị hàm số \(y = 2{{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2{\rm{x}} - 1\) như hình bên: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(I\left( {\frac{1}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\).

d) \(y =  - \frac{1}{4}\left( {{x^3} - 6{{\rm{x}}^2} + 12{\rm{x}}} \right) =  - \frac{1}{4}{x^3} + \frac{3}{2}{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}}\) 1) Tập xác định: \(\mathbb{R}\). 2) Sự biến thiên: • Giới hạn tại vô cực: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  + \infty \). • Bảng biến thiên: \(y' =  - \frac{3}{4}{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 3\) và \(y' = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

Hàm số nghịch biến trên \(\mathbb{R}\). Hàm số không có cực trị. 3) Đồ thị • Giao điểm của đồ thị với trục tung: \(O\left( {0;0} \right)\). • Đồ thị hàm số đi qua các điểm: \(\left( {0;0} \right),\left( {1; - \frac{7}{4}} \right),\left( {2; - 2} \right),\left( {3; - \frac{9}{4}} \right),\left( {4; - 4} \right)\). Vậy đồ thị hàm số \(y =  - \frac{1}{3}{x^3} - {x^2} + 2\) như sau:

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm \(I\left( {2; - 2} \right)\).