Đề bài

Cho hàm số bậc ba \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị là đường cong như Hình 22. Căn cứ vào đồ thị hàm số:

a) Tìm khoảng đơn điệu, điểm cực đại, cực tiểu của hàm số. b) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) c) Tìm điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ bằng 2. d) Tìm điểm trên đồ thị hàm số có tung độ bằng 2. e) Đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại mấy điểm? g) Với giá trị nào của \(x\) thì \( - 2 < f\left( x \right) < 2\)? h) Tìm công thức xác định hàm số \(f\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có: ‒ Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;2} \right)\). ‒ Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 0\), đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\). b) Trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\), hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 2 tại \(x = 0\), đạt giá trị nhỏ nhất bằng ‒2 tại \(x =  - 1,x = 2\). c) Điểm trên đồ thị hàm số có hoành độ bằng 2 là \(\left( {2; - 2} \right)\). d) Điểm trên đồ thị hàm số có tung độ bằng 2 là \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {3;2} \right)\). e) Đường thẳng \(y = 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại 3 điểm.

g) Dựa vào đồ thị hàm số, ta có: \( - 2 < f\left( x \right) < 2,\forall x \in \left( { - 1;3} \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}\) (phần màu đỏ).

h) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2. Vậy \(d = 2\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {1;0} \right)\) nên ta có: \(a{.1^3} + b{.1^2} + c.1 + 2 = 0 \Leftrightarrow a + b + c =  - 2\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( { - 1; - 2} \right)\) nên ta có: \(a.{\left( { - 1} \right)^3} + b.{\left( { - 1} \right)^2} + c.\left( { - 1} \right) + 2 =  - 2\) \( \Leftrightarrow  - a + b - c =  - 4\). Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {2; - 2} \right)\) nên ta có: \(a{.2^3} + b{.2^2} + c.2 + 2 =  - 2 \Leftrightarrow 8a + 4b + 2c =  - 4\). Từ đó ta có \(a = 1,b =  - 3,c = 0\). Vậy hàm số cần tìm là: \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2\).