Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC, các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Chứng minh rằng: a) \(AD.BH = AC.BD\). b) \(HA.HD = HB.HE = HC.HF\). c) \(B{C^2} = BE.BH + CF.CH\).

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ADC và tam giác BDH có:\(\widehat {ADC} = \widehat {BDH} = {90^0},\widehat {DAC} = \widehat {HBD}\) (cùng phụ với góc ECB). Do đó, $\Delta ADC\backsim \Delta BDH\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{AD}}{{BD}} = \frac{{AC}}{{BH}}\) nên \(AD.BH = AC.BD\)b) Tam giác HEA và tam giác HDB có:\(\widehat {HEA} = \widehat {HDB} = {90^0},\widehat {AHE} = \widehat {BHD}\) (hai góc đối đỉnh)Do đó, $\Delta HEA\backsim \Delta HDB\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{HE}}{{HD}} = \frac{{HA}}{{HB}}\), do đó \(HA.HD = HB.HE\)Tam giác HFA và tam giác HDC có:\(\widehat {HFA} = \widehat {HDC} = {90^0},\widehat {FHA} = \widehat {DHC}\) (hai góc đối đỉnh)Do đó, $\Delta HFA\backsim \Delta HDC\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{HF}}{{HD}} = \frac{{HA}}{{HC}}\), do đó, \(HA.HD = HF.HC\)Vậy \(HA.HD = HB.HE = HC.HF\)c) Tam giác BCE và tam giác BHD có:\(\widehat {BEC} = \widehat {BDH} = {90^0},\widehat {HBD}\;chung\)Do đó, $\Delta BCE\backsim \Delta BHD\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{BC}}{{BH}} = \frac{{BE}}{{BD}}\) hay \(BC.BD = BE.BH\) Tam giác BCF và tam giác HCD có:\(\widehat {BFC} = \widehat {CDH} = {90^0},\widehat {HCD}\;chung\)Do đó, $\Delta BCF\backsim \Delta HCD\left( g.g \right)$, suy ra \(\frac{{BC}}{{CH}} = \frac{{CF}}{{CD}}\) hay \(BC.CD = CF.CH\).Ta có: \(BE.BH + CF.CH = BC.CD + BC.BD\)\( = BC\left( {BD + CD} \right) = B{C^2}\)