Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A \(\left( {AB < AC} \right)\), M là điểm bất kì trên cạnh AC. Kẻ \(MD \bot BC\left( {D \in BC} \right)\). a) Chứng minh rằng $\Delta DMC\backsim \Delta ABC$. b) Gọi E là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng MD. Chứng minh rằng \(DB.DC = DE.DM\) c) Đường thẳng BM cắt EC tại K. Chứng minh rằng \(\widehat {EKA} = \widehat {EBC}\).

Lời giải chi tiết

a) Tam giác DMC và tam giác ABC có:\(\widehat {MDC} = \widehat {BAC} = {90^0},\widehat {ACB}\;chung\)Do đó, $\Delta DMC\backsim \Delta ABC\left( g.g \right)$b) Tam giác DBE và tam giác DMC có:\(\widehat {BDE} = \widehat {MDC} = {90^0},\widehat {DEB} = \widehat {DCM}\) (cùng phụ với góc ABC)Suy ra \(\Delta DBE\backsim \Delta DMC\left( g.g \right)\)Suy ra: \(\frac{{DB}}{{DM}} = \frac{{DE}}{{DC}}\), nên \(DB.DC = DE.DM\)c) Tam giác EBC có hai đường cao ED và CA cắt nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác EBC. Do đó, \(BK \bot EC\)Tam giác EAC và tam giác EKB có:\(\widehat {EAC} = \widehat {EKB} = {90^0},\widehat {BEC}\;chung\)Do đó, $\Delta EAC\backsim \Delta EKB\left( g.g \right)$nên \(\frac{{EA}}{{EK}} = \frac{{EC}}{{EB}}\), hay \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{EK}}{{EB}}\)Tam giác EAK và tam giác ECB có: \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{EK}}{{EB}}\), góc BEC chung. Do đó, $\Delta EAK\backsim \Delta ECB\left( c.g.c \right)$ nên \(\widehat {EKA} = \widehat {EBC}\)