Đề bài

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) và thoả mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {3\cos x + 2f'\left( x \right)} \right]dx}  =  - 5;f\left( 0 \right) = 1\). Tính giá trị \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\).

Lời giải chi tiết

Ta có: \( - 5 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left[ {3\cos x + 2f'\left( x \right)} \right]dx}  = 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx}  + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right)dx}  = 3 + 2\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right)dx} \) Vậy \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right)dx}  =  - 4\). Mặt khác: \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right)dx}  = f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - f\left( 0 \right)\). Do đó\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) - f\left( 0 \right) =  - 4 \Leftrightarrow f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = f\left( 0 \right) - 4 = 1 - 4 =  - 3\).