Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để:

a) \(f\left( x \right) = \left( {m - 3} \right){x^2} + 2mx - m\) là một tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) b) \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 5\left( {m - 3} \right)\) là một tam thức bậc hai có nghiệm c) Phương trình \(2{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0\) vô nghiệm d) Bất phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 3\left( {{m^2} - 3} \right) \ge 0\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\)

Lời giải chi tiết

a) \(f\left( x \right) = \left( {m - 3} \right){x^2} + 2mx - m\) là một tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' < 0\\a < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m\left( {m - 3} \right) < 0\\m - 3 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{m^2} - 3m < 0\\m < 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < \frac{3}{2}\\m < 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow 0 < m < \frac{3}{2}\)Vậy khi \(m \in \left( {0;\frac{3}{2}} \right)\) thì \(f\left( x \right) = \left( {m - 3} \right){x^2} + 2mx - m\) là một tam thức bậc hai âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

_b) ⭕\(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 5\left( {m - 3} \right)\) là một tam thức bậc hai có nghiệm khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\a \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 3} \right)^2} - 5\left( {m - 2} \right)\left( {m - 3} \right) \ge 0\\m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4{m^2} + 31m - 21 \ge 0\\m \ne 2\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{4} \le m \le 7\\m \ne 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ {\frac{3}{4};7} \right]\backslash \left\{ 2 \right\}\)Vậy khi \(m \in \left[ {\frac{3}{4};7} \right]\backslash \left\{ 2 \right\}\) thì \(f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 5\left( {m - 3} \right)\) là một tam thức bậc hai có nghiệmc) Phương trình \(2{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta  < 0\)hay \({\left( {3m - 1} \right)^2} - 4.2.2\left( {m + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow 9{m^2} - 22m - 15 < 0 \Leftrightarrow  - \frac{5}{9} < x < 3\)Vậy khi \(m \in \left( { - \frac{5}{9};3} \right)\) thì phương trình \(2{x^2} + \left( {3m - 1} \right)x + 2\left( {m + 1} \right) = 0\) vô nghiệm d) Bất phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 3\left( {{m^2} - 3} \right) \ge 0\) có \(a = 2 > 0\) nên để bất phương trình có tập nghiệm trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\Delta ' < 0\)hay \({\left( {m - 3} \right)^2} - 2.3\left( {{m^2} - 3} \right) < 0 \Leftrightarrow  - 5{m^2} - 6m + 27 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 3\\m > \frac{9}{5}\end{array} \right.\)Vậy khi \(m \in ( - \infty ; - 3) \cup \left( {\frac{9}{5}; + \infty } \right)\) thì bất phương trình \(2{x^2} + 2\left( {m - 3} \right)x + 3\left( {{m^2} - 3} \right) \ge 0\) có tập nghiệm trên \(\mathbb{R}\)