Đề bài

Xác định parabol \(y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + 1\) , trong mỗi trường hợp sau: a) Đi qua 2 điểm A(1; 0) và B(2; 4). b) Đi qua điểm A(1; 0) và có trục đối xứng \(x = 1\). c) Có đỉnh I(1; 2). d) Đi qua điểm C(-1; 1) và có tung độ đỉnh -0,25.

Lời giải chi tiết

a) Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm A(1; 0) nên: \(a{.1^2} + b.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b =  - 1\). Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm B(2; 4) nên: \(a{.2^2} + 2b + 1 = 4 \Leftrightarrow 4a + 2b = 3\). Từ 2 phương trình trên, ta có \(a = \frac{5}{2};b = \frac{{ - 7}}{2}\). => Hàm số cần tìm là \(y = \frac{5}{2}{x^2} - \frac{7}{2}x + 1\). b) Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm A(1; 0) nên: \(a{.1^2} + b.1 + 1 = 0 \Leftrightarrow a + b =  - 1\). Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) có trục đối xứng x = 1. \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow  - b = 2a \Leftrightarrow 2a + b = 0\). Từ 2 phương trình trên, ta có \(a = 1;b =  - 2\). => Hàm số cần tìm là \(y = {x^2} - 2x + 1\). c) Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) có đỉnh \(I(1;2)\) nên: \(\frac{{ - b}}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow  - b = 2a \Leftrightarrow 2a + b = 0\). \(a{.1^2} + b.1 + 1 = 2 \Leftrightarrow a + b = 1\). Từ 2 phương trình trên, ta có \(a =  - 1;b = 2\). => Hàm số cần tìm là \(y =  - {x^2} + 2x + 1\). d) Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) đi qua điểm C(-1; 1) nên: \(a.{( - 1)^2} + b.( - 1) + 1 = 1 \Leftrightarrow a - b = 0 \Leftrightarrow a = b\). Đồ thị hàm số  \(y = a{x^2} + bx + 1\) có tung độ đỉnh là -0,25 nên: \(\frac{{ - \Delta }}{{4a}} =  - 0,25 \Leftrightarrow  - \frac{{{b^2} - 4.a.1}}{{4a}} =  - 0,25 \Leftrightarrow {b^2} - 4a = a \Leftrightarrow {b^2} = 5a\). Thay a = b ta có: \({b^2} = 5b \Leftrightarrow b=0\) hoặc \(b=5\). Vì \(a \ne 0\) nên \(a=b=5\). => Hàm số cần tìm là \(y = 5{x^2} + 5x + 1\).