Đề bài

Tìm các giá trị của tham số m để: a)      Hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} - 2mx + 5} }}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\)

b)      Tam thức bậc hai \(y =  - {x^2} + mx - 1\) có dấu không phụ thuộc vào x

c)      Hàm số \(y = \sqrt { - 2{x^2} + mx - m - 6} \) có tập xác định chỉ gồm một phần tử

Lời giải chi tiết

a) Xét hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} - 2mx + 5} }}\)

+) Với m = 0 thì hàm số có dạng \(y = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\). Do đó m = 0 thỏa mãn
+) Với m꧅ ≠ 0, hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} - 2mx + 5} }}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(m{x^2} - 2m{\rm{x}} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) 

Ta có: \(m{x^2} - 2m{\rm{x}} + 5 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow m > 0\) và \(\Delta ' = {m^2} - 5m < 0\) \( \Leftrightarrow m > 0\) và \(0 < m < 5\) \( \Leftrightarrow 0 < m < 5\)Kết hợp các điều kiện, với \(m \in {\rm{[}}0;5)\) thì hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt {m{x^2} - 2mx + 5} }}\) có tập xác định \(\mathbb{R}\)b) Tam thức bậc hai \(y =  - {x^2} + mx - 1\) có a = -1 < 0

Khi đó\(y =  - {x^2} + mx - 1\) có dấu không phụ thuộc vào xꦛ khi và chỉ khi \(y =  - {x^2} + mx - 1\) < 0 \(\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \)\(\Delta  = {m^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2\)

Vậy với \(m \in ( - 2;2)\) thì Tam thức bậc hai \(y =  - {x^2} + mx - 1\) có dấu không phụ thuộc vào x

c) Hàm số  \(y = \sqrt { - 2{x^2} + mx - m - 6} \)có tập xác định chỉ gồm một phần tử khi và chỉ khi\( - 2{x^2} + mx - m - 6 = 0\) có nghiệm kép \( \Leftrightarrow \Delta  = {m^2} - 8(m + 6) = 0\)

 \( \Leftrightarrow {m^2} - 8m - 48 = 0 \Leftrightarrow m =  - 4\)hoặc m = 12

Vậy với \(m \in {\rm{\{ }} - 4;12{\rm{\} }}\) thì Hàm số  \(y = \sqrt { - 2{x^2} + mx - m - 6} \)có tập xác định chỉ gồm một phần tử .