Đề bài

Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị mỗi hàm số sau: a) \(y = \frac{{x - 1}}{{2{\rm{x}} + 3}}\);               b) \(y =  - 3 + \frac{5}{{x - 4}}\); c) \(y = \frac{{3{\rm{x}} - 7}}{{{x^2}}}\);             d) \(y = \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}}\).

Lời giải chi tiết

a) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{3}{2}} \right\}\). Ta có: • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{3}{2}}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{3}{2}}^ - }} \frac{{x - 1}}{{2{\rm{x}} + 3}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{3}{2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {{\frac{3}{2}}^ + }} \frac{{x - 1}}{{2{\rm{x}} + 3}} =  - \infty \) Vậy \(x =  - \frac{3}{2}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x - 1}}{{2{\rm{x}} + 3}} = \frac{1}{2};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x - 1}}{{2{\rm{x}} + 3}} = \frac{1}{2}\) Vậy \(y = \frac{1}{2}\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. b) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 4 \right\}\). Ta có: • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( { - 3 + \frac{5}{{x - 4}}} \right) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left( { - 3 + \frac{5}{{x - 4}}} \right) =  + \infty \) Vậy \(x = 4\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( { - 3 + \frac{5}{{x - 4}}} \right) =  - 3;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( { - 3 + \frac{5}{{x - 4}}} \right) =  - 3\) Vậy \(y =  - 3\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. c) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\). Ta có: • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{3{\rm{x}} - 7}}{{{x^2}}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3{\rm{x}} - 7}}{{{x^2}}} =  - \infty \) Vậy \(x = 0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 7}}{{{x^2}}} = 0;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{3{\rm{x}} - 7}}{{{x^2}}} = 0\) Vậy \(y = 0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. d) Hàm số có tập xác định là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có: • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}} =  - \infty \) Vậy \(x = 1\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. • \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}} =  - 2;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 2{{\rm{x}}^2} + 1}}{{{x^2} - 2{\rm{x}} + 1}} =  - 2\) Vậy \(y =  - 2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.