Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng \({60^o}\). Tia phân giác của góc ABC cắt AC ở E. Kẻ EM vuông góc với BC \(\left( {M \in BC} \right)\). a) Chứng minh \(\Delta ABE = \Delta MBE\). b) Chứng minh \(MB = MC\). c) Gọi I là giao điểm của BA và ME. Chứng minh \(IE > EM\).

Lời giải chi tiết

a) Xét hai tam giác vuông ABE và MBE, ta có: \(\widehat {BAE} = \widehat {BME} = {90^o},\widehat {ABE} = \widehat {EBM},BE\;chung\) Do đó, \(\Delta ABE = \Delta MBE\) (cạnh huyền – góc nhọn) b) Trong tam giác vuông ABC, ta có \(\widehat B = {60^o}\) nên \(\widehat C = {30^o}\). Vì BE là phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên \(\widehat {ABE} = \widehat {EBM} = \frac{{\widehat {ABC}}}{2} = {30^o}\) Vậy tam giác BEC có \(\widehat {EBC} = \widehat C = {30^o}\) nên tam giác BEC cân tại E. Tam giác BEC cân tại E và có EM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến, suy ra \(MB = MC\). c) Ta có góc BAE kề bù với góc IAE nên \(\widehat {IAE} = {90^o}\). Trong tam giác vuông AEI có cạnh IE là cạnh huyền nên \(IE > AE\) (1) Theo câu a) \(\Delta ABE = \Delta MBE\) nên \(AE = EM\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(IE > EM\).