Đề bài

Một khung cửa sổ hình tam giác có thiết kế như Hình 18a được vẽ lại như Hình 18b. a) Cho biết \(\widehat {{A_1}}\)\( = {42^o}\). Tính số đo của \(\widehat {{M_1}}\),\(\widehat {{B_1}}\),\(\widehat {{M_2}}\). b) Chứng minh MN // BC, MP // AC. c) Chứng minh bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau.

Lời giải chi tiết

a)      Ta thấy tam giác AMN cân tại A do AM = AN\( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = ({180^o} - \widehat {{A_1}}):2 = ({180^o} - {42^o}):2 = {69^o}\)Ta thấy tam giác PMN = tam giác AMN ( c-c-c )\( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {PMN} = {69^o}\) (góc tương ứng )Mà \( \Rightarrow \widehat {{M_1}} + \widehat {{M_2}} + \widehat {PMN} = {180^o}\)( các góc kề bù )\( \Rightarrow \widehat {{M_2}} = {180^o} - {69^o} - {69^o} = {42^o}\)Mà tam giác MPB cân tại M do MB = MP nên\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {MPB}\)Áp dụng định lí tổng 3 góc trong tam giác\( \Rightarrow \widehat {{B_1}} = ({180^o} - {42^o}):2 = {69^o}\)b)      Ta thấy \(\widehat {{B_1}}\)và \(\widehat {{M_1}}\)ở vị trí đồng vị và bằng nhau nên\( \Rightarrow \)MN⫽BCVì tam giác PMN = tam giác AMN nên ta có\( \Rightarrow \widehat {{M_1}} = \widehat {ANM} = \widehat {PMN} = \widehat {MNP}\)( do 2 tam giác cân và bằng nhau )Mà \(\widehat {MNA}\)và\(\widehat {PMN}\) ở vị trí so le trong\( \Rightarrow \)MP⫽ACc)      Ta có \(\Delta AMN = \Delta PMN = \Delta MBP(c - g - c)\)(1) Vì MP⫽AC ( chứng minh trên )\( \Rightarrow \widehat {MPN} = \widehat {PNC}\) ( 2 góc so le trong ) =\({42^o}\)\( \Rightarrow \Delta MPN = \Delta NCP(c - g - c)\)(2)Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) 4 tam giác cân AMN, MBP, PMN, NCP bằng nhau