Đề bài

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM \(\left( {M \in BC} \right)\). Tia phân giác của góc AMB cắt AB tại D, tia phân giác của góc AMC cắt AC tại E. a) Chứng minh DE//BC. b) Gọi I là giao điểm của DE với AM. Chứng minh I là trung điểm của DE.

Lời giải chi tiết

a) Vì MD là phân giác góc AMB trong tam giác ABM nên: \(\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{{DA}}{{DB}}\)Vì ME là phân giác góc AMC trong tam giác AMC nên: \(\frac{{EA}}{{EC}} = \frac{{MA}}{{MC}} = \frac{{MA}}{{MB}}\)Do đó, \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}\).Tam giác ABC có: \(\frac{{DA}}{{DB}} = \frac{{EA}}{{EC}}\), suy ra DE//BC (định lí Thalès đảo).b) Tam giác ABM có DI//BM nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{DI}}{{MB}} = \frac{{AI}}{{AM}}\)Tam giác ACM có EI//CM nên theo hệ quả định lí Thalès ta có: \(\frac{{EI}}{{MC}} = \frac{{AI}}{{AM}}\)Do đó: \(\frac{{ID}}{{MB}} = \frac{{IE}}{{MC}}\)Mà \(MB = MC\) nên \(ID = IE\)Vậy I là trung điểm của DE.