Đề bài

Cho hình bình hành ABCD có tia phân giác của góc A cắt đường chéo BD tại M và tia phân giác của góc D cắt đường chéo AC tại N. Chứng minh MN//AD.

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD nên \(AC = 2AO,BD = 2DO\)Vì DN là phân giác của góc ADC trong tam giác ADC nên: \(\frac{{NA}}{{NC}} = \frac{{AD}}{{DC}}\)Vì AM là phân giác của góc DAB trong tam giác ADB nên: \(\frac{{MD}}{{MB}} = \frac{{AD}}{{AB}} = \frac{{AD}}{{DC}}\)Do đó, \(\frac{{NA}}{{NC}} = \frac{{MD}}{{MB}}\)Suy ra: \(\frac{{NA}}{{MD}} = \frac{{NC}}{{MB}} = \frac{{NA + NC}}{{MD + MB}} = \frac{{AC}}{{BD}} = \frac{{AO}}{{DO}}\)Do đó, \(\frac{{AN}}{{AO}} = \frac{{MD}}{{DO}}\)Tam giác ADO có: \(\frac{{AN}}{{AO}} = \frac{{MD}}{{DO}}\)  nên MN//AD (định lí Thalès đảo).