Đề bài

Cho hàm số \(y = \frac{1}{x}\). Chứng tỏ hàm số đã cho: a) Nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\); b) Nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\).Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)\({x_1},{x_2} \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).b) Lấy \({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right)\) sao cho \({x_1} < {x_2}\).Xét \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \frac{1}{{{x_1}}} - \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{{x_2} - {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}}\)Do \({x_1} < {x_2}\) nên \({x_2} - {x_1} > 0\)\({x_1},{x_2} \in \left( { - \infty ;0} \right) \Rightarrow {x_1}{x_2} > 0\)(Cùng dấu âm nên tích cũng âm)\( \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) > 0 \Leftrightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\) Vậy hàm số nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).