Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x - 3y - z + 2 = 0\) và điểm \(A\left( {1; - 1; - 2} \right)\). a) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (P). b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P).

Lời giải chi tiết

a) Do d vuông góc với (P) nên vectơ pháp tuyến của (P) là một vectơ chỉ phương của d. Suy ra vectơ chỉ phương của d là \({u_d} = {n_P} = \left( {2; - 3; - 1} \right)\) Phương trình tham số của đường thẳng d là  \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y =  - 1 - 3t\\z =  - 2 - t\end{array} \right.\). b) Giả sử \(M\) là giao điểm của d và (P). Do \(M\) thuộc đường thẳng d nên \(M\) có tọa độ \(M\left( {2 + t;3 + 2t;4 - t} \right)\). Mà \(M \in \left( P \right)\) suy ra \(2\left( {1 + 2t} \right) - 3\left( { - 1 - 3t} \right) - \left( { - 2 - t} \right) + 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{ - 9}}{{14}}\). Do đó \(M\left( {\frac{{ - 2}}{7};\frac{{13}}{{14}};\frac{{ - 19}}{{14}}} \right)\). Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P) là \(\left( {\frac{{ - 2}}{7};\frac{{13}}{{14}};\frac{{ - 19}}{{14}}} \right)\).