Đề bài

Trong không gian Oxyz, một xe tải có chiều cao bằng 1, di chuyển trên mặt phẳng (Oxy) và cần chui qua gầm của một cây cầu. Cây cầu đó thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 + 2t\\z = 2\end{array} \right.\). Hỏi chiều cao của gầm cầu có đủ để xe tải chui qua hay không?

Lời giải chi tiết

Vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {1;2;0} \right)\), vectơ pháp tuyến của (Oxy) là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\). Ta có \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  \cdot \overrightarrow k  = 0\) suy ra \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  \bot \overrightarrow k \) hay \(\Delta \parallel \left( {Oxy} \right)\). Lấy \(A\left( {1; - 1;2} \right) \in \Delta \); \(\left( {Oxy} \right):z = 0\) Khoảng cách từ đường thẳng \(\Delta \) đến mặt phẳng (Oxy) là \(d\left( {\Delta ,\left( {Oxy} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {Oxy} \right)} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt 1 }} = 2\). Suy ra chiều cao của gầm cầu bằng 2 > 1, đủ để xe tải chui qua.