Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} =  - 2\), \({u_{n + 1}} = \frac{{n + 1}}{{2n}}{u_n}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\). Đặt \({v_n} = \frac{{{u_n}}}{n}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}\) a)    Chứng minh rằng dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân. Tìm số hạng đầu, công bội của cấp số nhân đó. b)    Tìm công thức của \({u_n}\) tính theo \(n\).

Lời giải chi tiết

a) Do \({v_n} = \frac{{{u_n}}}{n} \Rightarrow {v_{n + 1}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right){u_n}}}{{2n}}.\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)}} = \frac{1}{2}\frac{{{u_n}}}{n} = \frac{1}{2}{v_n}\).Suy ra \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{2}\).Dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) có \(\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{1}{2}\) là hằng số, nên \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = \frac{{{u_1}}}{1} =  - 2\) và công bội \(q = \frac{1}{2}\).b) Do \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân nên \({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \left( { - 2} \right){\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{{{2^{n - 2}}}}\)Suy ra \({u_n} = n.{v_n} = \frac{{ - n}}{{{2^{n - 2}}}}\)