Đề bài

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right]\) a)    Viết sáu số hạng đầu của dãy số. b)    Chứng minh rằng \({u_{n + 6}} = {u_n}\) với mọi \(n \ge 1\) c)     Tính tổng 27 số hạng đầu của dãy số.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:\({u_1} = \cos \left[ {\left( {2.1 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {3\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{2} = 0\)\({u_2} = \cos \left[ {\left( {2.2 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {5\frac{\pi }{6}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\({u_3} = \cos \left[ {\left( {2.3 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {7\frac{\pi }{6}} \right) =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\({u_4} = \cos \left[ {\left( {2.4 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {9\frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{{3\pi }}{2} = 0\)\({u_5} = \cos \left[ {\left( {2.5 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {11\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)\({u_6} = \cos \left[ {\left( {2.6 + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left( {13\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)Vậy sáu số hạng đầu của dãy số là \(0, - \frac{{\sqrt 3 }}{2}, - \frac{{\sqrt 3 }}{2},0,\frac{{\sqrt 3 }}{2},\frac{{\sqrt 3 }}{2}\).b) Ta có:\({u_{n + 6}} = \cos \left[ {\left( {2\left( {n + 6} \right) + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 12\frac{\pi }{6}} \right] = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6} + 2\pi } \right]\) \( = \cos \left[ {\left( {2n + 1} \right)\frac{\pi }{6}} \right] = {u_n}\)Bài toán được chứng minh.c) Theo câu b, ta có \({u_{n + 6}} = {u_n}\), nên vì vậy ta có:\({u_1} = {u_7} = {u_{13}} = {u_{19}} = {u_{25}}\),\({u_2} = {u_8} = {u_{14}} = {u_{20}} = {u_{26}}\),\({u_3} = {u_9} = {u_{15}} = {u_{21}} = {u_{27}}\),\({u_4} = {u_{10}} = {u_{16}} = {u_{22}}\),\({u_5} = {u_{11}} = {u_{17}} = {u_{23}}\),\({u_6} = {u_{12}} = {u_{18}} = {u_{24}}\).Do đó, \({S_{27}} = 4\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6}} \right) + {u_1} + {u_2} + {u_3}\)\( = 4\left( {0 + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + 0 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} + 0} \right) + 0 + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 3 }}{2} =  - \sqrt 3 \)