Đề bài

Trong không gian Oxyz, sàn của một căn phòng thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):x + 2y + 2z - 1 = 0\) và trần của căn phòng đó thuộc mặt phẳng \(\left( \beta  \right):x + 2y + 2z - 3 = 0\). Hỏi chiều cao của căn phòng có đủ để kê một chiếc tủ có chiều cao bằng 1 hay không?

Lời giải chi tiết

Xét hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\) có các vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = \overrightarrow {{n_\beta }}  = \left( {1;2;2} \right)\) và \( - 1 \ne  - 3\). Suy ra \(\left( \alpha  \right)\parallel \left( \beta  \right)\) và chiều cao căn phòng là khoảng cách giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) và \(\left( \beta  \right)\). Lấy \(A\left( {1;0;0} \right) \in \left( \alpha  \right)\). Chiều cao căn phòng là \(d\left( {\alpha ,\beta } \right) = d\left( {A,\beta } \right) = \frac{{\left| {1 + 2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {1 + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{3}\). Vì \(\frac{2}{3} < 1\) nên chiều cao của căn phòng không đủ để kê tủ có chiều cao bằng 1.