Đề bài

Trong không gian Oxyz, một máy phát sóng đặt tại vị trí \(A\left( {1;2;1} \right)\) và có bán kính phủ sóng là 2. Hỏi vùng phủ sóng trên mặt phẳng (Oxy) có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết

Vùng phủ sóng của máy được biểu diễn bằng mặt cầu \(\left( C \right)\) tâm \(A\left( {1;2;1} \right)\), bán kính 2. Ta có phương trình của mặt cầu là \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^1} = 4\). Vùng phủ sóng trên (Oxy) là giao của mặt cầu \(\left( C \right)\) và mặt phẳng (Oxy). Mặt khác \(\left( {Oxy} \right)\) có phương trình \(z = 0\), suy ra vùng phủ sóng thỏa mãn phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^1} = 4\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 3\). Suy ra vùng phủ sóng trên (Oxy) là hình tròn có bán kính bằng \(\sqrt 3 \).